"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Треугольник — фигура из трёх отрезков, а его вид по сторонам определяют сравнением их длин. Если все стороны равны, треугольник равносторонний; если равны две — равнобедренный; если все разные — разносторонний. Эта классификация помогает находить свойства углов, решать задачи на периметр и точнее описывать фигуру. При этом один треугольник можно характеризовать и по сторонам, и по углам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Треугольник — фигура, ограниченная тремя отрезками. Точки соединения отрезков называют вершинами, сами отрезки — сторонами, а пары сторон образуют углы треугольника. Например, если вершины обозначены буквами A, B и C, стороны можно назвать AB, BC и CA. Эти обозначения помогают точно указывать, какие элементы сравнивают или рассматривают в задаче.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Основание нужно отличать по длине, а не по положению на листе: оно может быть изображено наклонно или вертикально. Такое название помогает описывать стороны и применять свойства равнобедренного треугольника.
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Значит, в нём можно выбрать любые две стороны и назвать их боковыми, а оставшуюся — основанием. Это определение позволяет сразу узнать частный случай равнобедренного треугольника. Оно также пригодится, когда нужно найти сторону по периметру.
Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Здесь ни одна пара сторон не равна, поэтому выделить пару боковых сторон и основание, как у равнобедренного, нельзя. Этот термин нужен, чтобы кратко обозначить результат сравнения всех трёх сторон. При классификации важно опираться на длины, а не на внешний вид фигуры.
Треугольники классифицируют по равенству сторон, то есть сравнивают длины каждой пары сторон. Если равны все три, треугольник равносторонний; если только две — равнобедренный; если ни одна пара не равна — разносторонний. Именно число равных сторон разделяет фигуры на эти три основных вида. Поэтому для классификации сначала нужны сведения о длинах или отметки равенства на чертеже.
Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, потому что в нём заведомо есть две равные стороны. Более того, такими сторонами может быть любая выбранная пара. Тогда оставшаяся сторона тоже равна им, и её можно назвать основанием в принятом для равнобедренного треугольника смысле. Так определения не противоречат друг другу, а одно описывает более узкий случай другого.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это связано с симметрией: если провести прямую от вершины между боковыми сторонами к середине основания, треугольник разделится на две одинаковые части. При отражении одной части в другую боковые стороны совмещаются, а углы у концов основания переходят друг в друга. Поэтому эти углы имеют одинаковую величину.
В равностороннем треугольнике равны не только стороны, но и все углы. Равные стороны лежат напротив равных углов, поэтому каждый из трёх углов одинаков. Сумма углов любого треугольника равна 180°, следовательно, 180° нужно разделить на 3. Получаем по 60° на каждый угол.
Классификацию по сторонам не следует смешивать с классификацией по углам. Первая отвечает на вопрос, какие стороны равны, а вторая описывает величину углов, например наличие прямого угла. Это независимые признаки: один и тот же треугольник можно охарактеризовать сразу по обоим. Поэтому в задаче важно выяснить, о каком признаке спрашивают.
| Вид треугольника | Соотношение сторон | Особые названия сторон | Свойство углов |
|---|---|---|---|
| Равносторонний | Все три стороны равны | Любые две можно назвать боковыми, третью — основанием | Все углы равны 60° |
| Равнобедренный, но не равносторонний | Две стороны равны, третья отличается | Равные стороны — боковые, третья — основание | Углы при основании равны |
| Разносторонний | Все стороны имеют разную длину | Боковые стороны и основание не выделяют | Все углы различны |
Сначала найдите в строке условие о длинах сторон и сопоставьте его с данными задачи. Затем проверьте столбец с названиями сторон и свойством углов. Для разностороннего треугольника углы различны, поскольку равным углам соответствовали бы равные стороны.
Задача 1. Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 8 см. Определите его вид по сторонам и укажите основание. Сначала сравним все три длины, чтобы выяснить, сколько сторон равны. После этого можно применить определение равнобедренного треугольника.
Задача 2. Периметр равностороннего треугольника равен 24 см. Найдите длину стороны и величину каждого угла. Периметр — это сумма длин всех сторон, а в равностороннем они одинаковы. Поэтому разделим известную сумму на количество равных сторон, а затем используем сумму углов треугольника.
Задача 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, основание — 10 см. Найдите боковые стороны и определите, равен ли треугольник равностороннему. Периметр складывается из основания и двух одинаковых боковых сторон. Сначала уберём из общей суммы известное основание, а остаток поделим поровну.
Ошибка: любой треугольник с двумя равными сторонами называют равносторонним. Так путают два определения, потому что в обоих случаях встречаются равные стороны. Проверьте третью сторону: для равностороннего она тоже должна быть такой же длины. Если равны только две стороны, треугольник равнобедренный, но не равносторонний.
Ошибка: считают, что равнобедренный треугольник не может быть равносторонним. Причина — представление о том, что виды обязательно не пересекаются. Но равносторонний треугольник удовлетворяет условию равнобедренного, поскольку любые две его стороны равны. Для проверки сопоставьте определения, а не только названия.
Ошибка: основанием называют нижнюю сторону на рисунке. Это происходит, когда название связывают с расположением фигуры, а не с длинами сторон. Найдите две равные боковые стороны, после чего выберите третью — она и будет основанием. Поверните рисунок мысленно: название стороны от этого не изменится.
Ошибка: вид треугольника определяют только по тому, как он выглядит на чертеже. Рисунок может быть выполнен неточно, поэтому зрительная оценка длины ненадёжна. Ищите числа, отметки равных сторон или другие данные задачи. Если таких сведений нет, нельзя уверенно судить о равенстве сторон лишь по внешнему виду.
Для изучения видов треугольников нужно уметь распознавать вершины и стороны, сравнивать отрезки и находить периметр. Свойства равнобедренного треугольника помогают решать задачи на углы, выполнять построения и доказывать равенство треугольников. Классификация по сторонам дополняет классификацию по углам, с которой её используют вместе. Так можно описать фигуру сразу по двум признакам.
Может ли равносторонний треугольник считаться равнобедренным?
Да. У равностороннего треугольника любые две стороны равны, поэтому он подходит под определение равнобедренного. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного.
Как определить основание равнобедренного треугольника?
Основание — сторона, которая не равна двум другим, равным между собой сторонам. Если треугольник равносторонний, любую его сторону можно выбрать основанием.
Могут ли у разностороннего треугольника быть равные углы?
Нет. В треугольнике равным углам противолежат равные стороны. Поэтому если все стороны различны, то и все углы различны.
Обязательно ли основание равнобедренного треугольника изображать горизонтально?
Нет, положение на рисунке не имеет значения. Основанием называют сторону, отличную от двух равных боковых сторон, даже если она расположена сбоку или наклонно.
Как найти сторону равностороннего треугольника по его периметру?
Периметр равен сумме трёх одинаковых сторон, поэтому его нужно разделить на 3. Например, при периметре 24 см длина стороны равна 24 : 3 = 8 см.
Виды треугольников
