"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Длина отрезка показывает, насколько далеко находятся его концы, и помогает сравнивать расстояния, находить неизвестные части и периметры. Если точка делит отрезок на две части, длины этих частей складываются. Для любых трёх точек расстояние между двумя из них не превосходит суммы расстояний через третью. Из этого следует неравенство треугольника: каждая сторона треугольника короче суммы двух других. Эти правила нужны, чтобы решать задачи и проверять, можно ли построить треугольник по заданным длинам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — положительная величина, показывающая, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Длину отрезка с концами A и B обозначают AB. Это число помогает измерять и сравнивать отрезки, а также находить неизвестные расстояния.
Расстояние между точками A и B — длина отрезка AB. Его можно обозначить AB или BA: порядок названий точек не меняет расстояния. Это удобно, когда нужно записать расстояние между двумя точками в задаче.
Смежные части отрезка — отрезки, на которые его делит точка, лежащая между его концами. Например, если C находится между A и B, частями AB будут AC и CB. Такое понятие нужно, чтобы описывать, из каких отрезков состоит целый отрезок.
Неравенство треугольника — утверждение, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Оно помогает проверить, можно ли построить треугольник по трём заданным длинам. Если условие не выполняется, три отрезка не образуют треугольник.
Длина не может быть отрицательной: измерение показывает количество единичных отрезков, а отрицательное количество здесь не имеет смысла. Если концы отрезка совпали, расстояние между ними равно нулю, потому что отрезка между разными точками нет. Если концы разные, длина положительна. Перестановка названий концов ничего не меняет: расстояние между A и B такое же, как между B и A, поэтому AB = BA.
Когда C лежит между A и B, отрезок AC начинается в A и заканчивается в C, а CB продолжается от C до B. Вместе эти части проходят ровно от A до B и не накладываются друг на друга. Поэтому, чтобы получить длину всего AB, нужно сложить длины обеих частей: AB = AC + CB. Например, если одна часть равна 4 см, а другая — 7 см, весь отрезок равен 11 см.
Даже если C не лежит на отрезке AB, длины AC и CB связаны с AB. Два отрезка AC и CB задают путь из A в B через C, а AB соединяет эти точки напрямую. Прямой путь не длиннее пути с дополнительным поворотом, поэтому AB ≤ AC + CB. Равенство возможно, когда C лежит на отрезке AB; если точка находится в стороне, путь через неё длиннее прямого.
Треугольник можно представить как путь из одной вершины в другую по двум сторонам. Например, чтобы добраться из A в B через третью вершину C, нужно пройти AC и CB, а прямой отрезок AB короче такого пути. Значит, AB меньше суммы AC и CB. Такое рассуждение подходит для каждой стороны, поэтому каждая из трёх сторон треугольника меньше суммы двух оставшихся.
Если из трёх отрезков хотят составить треугольник, наибольшая длина должна быть меньше суммы двух остальных. Если она больше, оставшиеся стороны не смогут соединиться с её концами; если равна, они уложатся в одну прямую. В обоих случаях замкнутый треугольник не получится. Если же наибольшая длина строго меньше суммы двух других, три отрезка могут образовать треугольник.
| Ситуация | Равенство или неравенство | Что означает |
|---|---|---|
| Порядок обозначения концов отрезка | AB = BA | Расстояние не зависит от порядка названий точек. |
| Длина отрезка и совпадение его концов | AB ≥ 0; AB = 0 тогда и только тогда, когда A и B совпадают | Длина неотрицательна и равна нулю лишь у совпавших концов. |
| Точка лежит между концами отрезка | Если C между A и B, то AB = AC + CB | Длина целого отрезка равна сумме длин его частей. |
| Три произвольные точки | AB ≤ AC + CB | Прямое расстояние не больше пути через третью точку. |
Сначала найди в таблице ситуацию, которая описана в задаче, затем выбери соответствующую запись. Неравенство с тремя точками подходит и тогда, когда точка C не лежит на отрезке AB. А равенство AB = AC + CB применяют только при условии, что C находится между A и B.
Задача 1. Точка C лежит между A и B. Если AC = 4 см, а CB = 7 см, найдите AB. Здесь известны обе части отрезка, а требуется длина целого. Поэтому используем сложение длин частей, а не выбираем одну из них.
Ответ: AB = 11 см. Проверка проста: отрезок длиной 11 см состоит из частей 4 см и 7 см.
Задача 2. Даны отрезки длиной 3 см, 5 см и 8 см. Можно ли составить из них треугольник? Для ответа не нужно проверять все стороны по очереди: достаточно узнать, выполняется ли условие для самой длинной стороны. Ею здесь является отрезок длиной 8 см.
Ответ: составить треугольник нельзя. При таких длинах отрезки уложились бы на одной прямой, а треугольник не образовался бы.
Задача 3. Периметр треугольника равен 24 см, две его стороны равны 7 см и 9 см. Найдите третью сторону и проверьте, может ли существовать такой треугольник. Периметр — это сумма длин всех сторон, поэтому сначала найдём неизвестную длину, а потом проверим треугольные неравенства.
Ответ: третья сторона равна 8 см; такой треугольник может существовать.
Ошибка — при точке C между A и B записать AB = AC или AB = CB. Так можно решить, если принять целый отрезок за одну из его частей, но обе части вместе составляют AB. Чтобы проверить себя, представь, что проходишь сначала AC, а затем CB: нужно сложить обе длины.
Иногда равенство AB = BA принимают за утверждение, что два отрезка на чертеже расположены одинаково. Здесь сравниваются не места отрезков на рисунке, а их длины: порядок букв указывает те же две точки. Проверь себя вопросом: изменится ли расстояние между точками, если назвать их наоборот? Нет, поэтому длины равны.
Можно проверить только одно неравенство треугольника, не выяснив, какая сторона самая длинная. Но если сравнить с суммой не наибольшую сторону, проверка может не заметить, что она слишком длинна для двух остальных. Сначала расположи длины по величине и сравни самую большую с суммой двух других; это сразу даёт нужную проверку.
Ещё одна ошибка — считать, что при равенстве наибольшей длины сумме двух остальных треугольник всё-таки получится. Равенство означает, что две меньшие стороны могут лечь в одну линию вдоль большей, но замкнутой фигуры с углом не будет. Всегда проверяй знак: сумма должна быть строго больше наибольшей длины, а не просто равна ей.
Для этой темы нужны понятия точки и отрезка, а также понимание, что точка может лежать между концами отрезка. Ещё нужно уметь сравнивать и складывать длины. Эти знания помогают определить, какие именно части отрезка даны в условии.
Свойства длины применяют, когда находят неизвестные отрезки и периметры многоугольников. Если известны части одного отрезка, их складывают, а если известна вся длина и одна часть — находят другую вычитанием. Так геометрические свойства помогают решать вычислительные задачи.
Неравенство треугольника пригодится в задачах о треугольниках и при проверке возможности построения фигуры по заданным сторонам. Оно также помогает понять, почему прямое расстояние между точками не превосходит длину пути через промежуточную точку. Это свойство связано с общей идеей кратчайшего пути.
Почему длины AB и BA одинаковы?
Отрезок между точками A и B один и тот же, даже если назвать точки в обратном порядке. Поэтому расстояние от A до B равно расстоянию от B до A: AB = BA.
Когда длина отрезка равна нулю?
Длина отрезка равна нулю только тогда, когда его концы совпадают. Если точки разные, между ними есть отрезок положительной длины.
Почему при точке C между A и B длины AC и CB складываются?
Отрезок AB состоит из двух частей: AC и CB, и они вместе покрывают весь отрезок. Поэтому его длина равна сумме длин частей: AB = AC + CB.
Как проверить, можно ли построить треугольник по трём данным длинам?
Сравни наибольшую длину с суммой двух остальных. Если она строго меньше этой суммы, треугольник построить можно; если равна или больше — нельзя.
Почему в неравенстве треугольника нельзя заменить знак «меньше» на «меньше или равно»?
При равенстве длины одной стороны сумме двух других точки располагаются на одной прямой. Замкнутая фигура с тремя сторонами не получается, поэтому требуется строгое неравенство.
§ 3. Основные свойства длины. Неравенство треугольника
