§ 2. Измерение отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают их заглавными буквами: отрезок с концами A и B записывают как AB. Такое обозначение помогает понять, какой именно участок прямой рассматривается.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. За единицу можно выбрать, например, сантиметр или метр, а на рисунке — отрезок условной длины. Без общей единицы нельзя точно сообщить, насколько один отрезок длиннее другого.

Измерение отрезка — сравнение его длины с единичным отрезком и определение, сколько таких единиц в нём содержится. Единицу мысленно или с помощью линейки откладывают вдоль отрезка. Измерение нужно, чтобы выразить длину числом и сравнивать отрезки.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз выбранный единичный отрезок укладывается в данном отрезке. Число записывают вместе с единицей длины, например 8 см. Это позволяет не только назвать размер, но и выполнять вычисления с отрезками.

Как это устроено

Сначала выбирают единицу длины, а затем откладывают её вдоль отрезка. Это нужно потому, что одно и то же расстояние можно измерять разными единицами: маленькими удобно измерять короткие отрезки, а крупными — большие расстояния. Поэтому числовой результат зависит от выбора единицы, хотя сам отрезок остаётся прежним.

На линейке деления показывают расстояния от нулевой отметки. Чтобы измерить отрезок, совмести его начало с нулём и посмотри, у какого деления находится конец. Если начало не у нуля, прочитай отметки у обоих концов и найди разность показаний: линейка показывает расстояния от нуля, а не только длину самого отрезка.

Иногда конец отрезка не попадает точно на крупное деление, например на сантиметровую отметку. Тогда измерение продолжают в более мелких единицах — миллиметрах, которые делят сантиметр на 10 равных частей. Если даже делений не хватает, длину можно выразить дробной частью единицы, чтобы точнее описать положение конца.

Если точка C находится между концами отрезка AB, отрезок AB состоит из частей AC и CB. Поэтому длина целого равна сумме длин частей: AB = AC + CB. Это правило позволяет найти неизвестную часть: если известна длина целого и одной части, длину другой получают вычитанием.

Единицы длины связаны между собой: например, в одном метре 100 сантиметров. Поэтому при переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, а при переходе к более крупной — уменьшается. Единицу обязательно указывают рядом с числом, иначе запись длины будет неполной и может привести к ошибке в вычислениях.

Единицы длины и соотношения между ними

Чтобы перевести величину в более мелкие единицы, умножай на число таких единиц в одной крупной: например, метры переводят в сантиметры умножением на 100. При переходе к более крупной единице дели на соответствующее число. Проверяй, чтобы единица в результате подходила к условию задачи.

Разбор задач

Измерение по линейке

Отрезок AB на линейке начинается у отметки 2 см и заканчивается у отметки 7 см. Нужно найти его длину, а не расстояние от нуля до конца. Поскольку показания даны в одной единице, достаточно вычесть меньшее из большего.

1. Запишем показание у конца: 7 см.
2. Вычтем показание у начала: 7 см − 2 см = 5 см.
3. Проверим: от отметки 2 до отметки 7 — пять сантиметровых промежутков.

Ответ: длина отрезка AB равна 5 см. Если бы мы назвали ответом 7 см, то измерили бы расстояние от нуля линейки до конца отрезка, а не сам отрезок.

Сложение частей с миллиметрами

Точка C лежит между A и B, AC = 4 см 6 мм, CB = 3 см 8 мм. Чтобы найти AB, сложим длины частей. Удобно сначала сгруппировать одинаковые единицы, а затем проверить, не набралось ли 10 миллиметров, которые составляют 1 сантиметр.

1. Сложим сантиметры: 4 см + 3 см = 7 см.
2. Сложим миллиметры: 6 мм + 8 мм = 14 мм.
3. Преобразуем 14 мм: это 1 см 4 мм.
4. Прибавим 1 см к 7 см: получим 8 см 4 мм.

Ответ: AB = 8 см 4 мм. Такой результат можно проверить переводом в миллиметры: 46 мм + 38 мм = 84 мм, а 84 мм = 8 см 4 мм.

Две части, одна из которых длиннее

Отрезок длиной 12 см разделили точкой C на две части. Одна часть на 2 см 5 мм длиннее другой. Обозначим меньшую часть буквой x, тогда большая равна x + 2 см 5 мм. Их сумма составляет весь отрезок — 12 см.

1. Вычтем разность частей из общей длины: 12 см − 2 см 5 мм = 9 см 5 мм.
2. Разделим остаток поровну между двумя одинаковыми x: 9 см 5 мм : 2 = 4 см 7 мм 5 десятых мм.
3. Прибавим разность к меньшей части: 4 см 7 мм 5 десятых мм + 2 см 5 мм = 7 см 2 мм 5 десятых мм.
4. Проверим сумму: 4 см 7 мм 5 десятых мм + 7 см 2 мм 5 десятых мм = 12 см.

Ответ: части равны 4 см 7 мм 5 десятых мм и 7 см 2 мм 5 десятых мм. Здесь результат не выражается целым числом миллиметров, поэтому дробная часть миллиметра допустима. Проверка подтверждает и общую длину, и разность частей.

Типичные ошибки

Ошибка: принять показание у конца отрезка за его длину, не вычитая показание у начала. Так делают, когда забывают, что шкала показывает расстояние от нуля; это верно только при начале у нулевой отметки. Проверь себя: найди разность двух показаний и сравни её с числом промежутков между концами.

Ошибка: начинать отсчёт от края линейки, а не от нулевой отметки. Край может быть повреждён или не совпадать с нулём, поэтому измерение получится неверным. Проверь положение начала отрезка относительно отметки 0; если оно стоит у другой отметки, вычти её показание из конечного.

Ошибка: складывать сантиметры и миллиметры как обычные числа, не учитывая разные единицы. Например, запись 6 мм + 8 мм = 14 мм нельзя считать ответом в сантиметрах. Проверь, не составляют ли миллиметры полные сантиметры: каждые 10 мм замени на 1 см и запиши остаток.

Ошибка: считать, что числовое значение длины всегда одно и то же. Число меняется при смене единицы: например, 3 см — это 30 мм, хотя длина одна. Проверь единицу рядом с числом и преобразуй обе записи в одну единицу, чтобы сравнение было правильным.

Связь с другими темами

Для измерения отрезков нужны навыки работы с линейкой, сравнения чисел и сложения с вычитанием величин. Особенно важно не смешивать единицы: перед вычислением полезно убедиться, что сантиметры и миллиметры записаны понятно. Эти умения пригодятся в задачах, где требуется определить недостающую часть или сравнить длины.

Измеренные длины используют при нахождении периметра — общей длины границы фигуры, а также при изучении площади и координатного луча. На координатном луче расстояние между точками помогает связать их положение с числами. Поэтому умение измерять и переводить единицы становится основой для решения многих геометрических задач.

Что запомнить

• Длину отрезка измеряют, сравнивая его с выбранным единичным отрезком.
• Результат измерения записывают числом и единицей длины.
• При измерении линейкой важно правильно совместить начало отрезка с отметкой шкалы.
• Если точка лежит между концами отрезка, длина целого равна сумме длин его частей.
• 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.
• При переводе в более мелкие единицы числовое значение длины увеличивается.