4.2. Измерение отрезков

Определения и обозначения

Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз выбранная единица длины укладывается в отрезке. Например, если единица укладывается в отрезке пять раз, его длина равна пяти таким единицам. Благодаря длине можно сравнить отрезки и узнать, какой из них больше или меньше.

Единица длины — отрезок, выбранный за меру для сравнения и измерения других отрезков. Чтобы измерять разные отрезки одинаково, люди договорились использовать общие единицы. Без такой меры пришлось бы каждый раз сравнивать отрезки только на глаз или прикладывать их друг к другу.

Сантиметр — единица длины, которую обозначают см. На линейке сантиметры отмечены длинными штрихами и числами, а расстояние между соседними такими штрихами составляет один сантиметр. Чтобы отложить сантиметр, поставь карандаш у отметки 0 и отметь точку у ближайшего числа 1.

Миллиметр — единица длины, равная одной десятой сантиметра; его обозначение — мм. На обычной линейке один сантиметр разделён на десять маленьких делений, каждое из которых соответствует миллиметру. Миллиметры нужны, когда сантиметровых делений недостаточно для точного измерения.

Как это устроено

Чтобы измерить отрезок, нужно выбрать единицу длины и определить, сколько раз она укладывается в нём. Именно так измерение превращает сравнение на глаз в число: мы считаем равные шаги выбранной меры. Например, если мерка длиной 1 см помещается в отрезке пять раз, его длина составляет 5 см.

Линейка помогает измерять отрезок, потому что на ней нанесены единицы и их части. Её нулевую отметку совмещают с одним концом, а у второго конца считывают длину. Отсчёт от нуля важен: край линейки иногда не совпадает с нулевой отметкой, поэтому измерение от самого края может дать лишнюю или недостающую длину.

Результат зависит от выбранной единицы, потому что разные единицы имеют разный размер. Чем меньше единица, тем больше раз она укладывается в том же отрезке. Поэтому один отрезок можно записать как 4 см или как 40 мм: это разные числа, но длина одна и та же.

Если конец отрезка не совпадает с целым числом сантиметров, измерение можно уточнить миллиметрами. Например, сначала считывают целое число сантиметров, а затем считают маленькие деления до конца отрезка. Получившуюся длину записывают в сантиметрах и миллиметрах или переводят целиком в миллиметры.

Если точка делит отрезок на части, длина всего отрезка равна сумме длин этих частей. Это происходит потому, что части вместе полностью составляют исходный отрезок и не оставляют между собой промежутка. Если известна длина целого отрезка и одной части, длину другой находят вычитанием известной части из целого.

Единицы длины и их соотношения

Таблица помогает перевести длину из одной единицы в другую. При переходе к меньшей единице число обычно увеличивается: например, сантиметры превращают в миллиметры, умножая на 10. При переходе к большей единице число уменьшается, если длина точно делится на число единиц в этой мере.

Разбор задач

Измерение отрезка линейкой

Условие: измерьте отрезок на рисунке линейкой и запишите его длину в сантиметрах. Самого изображения отрезка в условии нет, поэтому конкретное число заранее определить нельзя. Зато можно выполнить измерение по одному и тому же порядку действий и получить длину своего отрезка.

1. Найди на линейке отметку 0 и приложи линейку вдоль отрезка. Не совмещай его конец с краем линейки, если край не совпадает с нулём. Проверь, что линейка не сдвинута и лежит прямо.

2. Посмотри, напротив какого деления находится второй конец отрезка. Если он совпал с числом на сантиметровой шкале, запиши это число. Если он оказался между числами, посчитай миллиметровые деления после последнего целого сантиметра.

3. Запиши найденную длину с единицей измерения. Например, если второй конец совпал с отметкой 6 см, длина равна 6 см. Без надписи «см» число 6 не сообщает, в каких единицах выполнено измерение.

Ответ: длина равна показанию линейки у второго конца; точное значение зависит от длины отрезка на рисунке.

Перевод сантиметров и миллиметров

Условие: выразите 4 см 6 мм в миллиметрах. Чтобы сложить части длины, удобно записать их в одной единице. Здесь результат просят дать в миллиметрах, поэтому сантиметры сначала нужно перевести в миллиметры.

1. Вспомни соотношение: 1 см = 10 мм. Значит, 4 см — это 4 раза по 10 мм, то есть 4 × 10 = 40 мм. Четыре сантиметра в пересчёте на миллиметры дают сорок миллиметров.

2. К полученным 40 мм прибавь оставшиеся 6 мм. Складывать теперь удобно, потому что обе длины записаны в миллиметрах. Получаем 40 мм + 6 мм = 46 мм.

Ответ: 4 см 6 мм = 46 мм. Проверить перевод можно обратным действием: 46 мм — это 40 мм и ещё 6 мм, то есть 4 см 6 мм.

Нахождение неизвестной части

Условие: отрезок длиной 9 см разделён точкой на две части. Одна часть равна 3 см 5 мм. Найдите длину второй части. Длина всего отрезка складывается из длин двух частей, поэтому неизвестную часть найдём вычитанием.

1. Приведи длины к одной единице, чтобы не вычитать сантиметры и миллиметры по отдельности. Переведём 9 см в миллиметры: 9 × 10 = 90 мм. Известная часть равна 3 см 5 мм, или 35 мм, потому что 3 см = 30 мм и 30 мм + 5 мм = 35 мм.

2. Вычти длину известной части из длины целого отрезка: 90 мм − 35 мм = 55 мм. Это длина второй части в миллиметрах. Вычитание подходит, потому что две части вместе дают все 90 мм.

3. Если нужно, переведи 55 мм в сантиметры и миллиметры. Пятьдесят миллиметров — это 5 см, и ещё остаётся 5 мм. Получаем 5 см 5 мм.

Ответ: длина второй части равна 5 см 5 мм. Проверка: 3 см 5 мм + 5 см 5 мм = 9 см, как и указано в условии.

Типичные ошибки

Первая ошибка — начинать отсчёт от края линейки, а не от отметки 0. Так поступают, потому что край кажется удобной начальной точкой, но шкала иногда начинается не у самого края. Проверь, что один конец отрезка точно стоит напротив нуля; если это не так, вычти начальное показание из конечного.

Вторая ошибка — записать одно число без единицы измерения. Число само по себе не показывает, измеряли ли длину в сантиметрах или миллиметрах, а эти единицы имеют разный размер. Записывай обозначение рядом с числом и перечитывай ответ: «7 см» и «7 мм» — разные длины.

Третья ошибка — считать, что в сантиметре 100 миллиметров. Такое неверное соотношение часто возникает из-за того, что в метре 100 сантиметров. Проверь перевод по делениям линейки: между двумя соседними сантиметровыми отметками десять миллиметров, значит, 1 см = 10 мм.

Четвёртая ошибка — складывать или вычитать длины, записанные в разных единицах. Например, сантиметры нельзя сразу вычитать из миллиметров, как будто это одинаковые числа. Перед вычислением переведи обе длины в одну единицу, а после вычисления при необходимости преобразуй ответ обратно.

Связь с другими темами

Для измерения важно уметь распознавать отрезок, находить его концы и видеть точки, расположенные на нём. Перевод сантиметров в миллиметры связан с десятичной записью чисел: при переходе к меньшей единице число изменяется в соответствии с соотношением единиц. Измерение пригодится при построении геометрических фигур и сравнении расстояний. Оно также нужно в задачах на периметр, где складывают длины сторон фигуры.

Что запомнить

• Длину отрезка измеряют выбранной единицей длины.
• При измерении линейкой отсчёт начинают от нулевой отметки.
• Длину записывают вместе с единицей измерения.
• 1 см = 10 мм.
• 1 м = 100 см.
• 1 км = 1000 м.
• Длина целого отрезка равна сумме длин его частей.