"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Отрезок — часть прямой между двумя точками, а его длина показывает, насколько он протяжён. Сравнивать отрезки можно наложением: если концы совпали, отрезки равны; если один выступает дальше, он длиннее. Когда наложить отрезки нельзя, измеряют каждый линейкой. Длины сравнивают только в одинаковых единицах, например предварительно переводят миллиметры в сантиметры. Эти умения помогают строить отрезки и решать задачи на периметр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают двумя заглавными буквами, например AB. По буквам понятно, какие точки ограничивают фигуру; порядок букв можно менять: AB и BA обозначают один и тот же отрезок.
Длина отрезка — числовая величина, показывающая, сколько единичных отрезков содержится в данном отрезке. Единичным называют отрезок, длина которого принята за единицу измерения, например сантиметр или миллиметр. Единица нужна, чтобы число имело точный смысл: запись «5» сама по себе не говорит, измерена ли длина в сантиметрах или миллиметрах.
Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Если один отрезок наложить на другой так, чтобы совпали их концы, отрезки совпадут целиком. Это помогает убедиться, что они равны, даже если на рисунке отрезки расположены по-разному.
Сравнение отрезков — определение, какой из двух отрезков длиннее, короче или равен другому. Для этого можно сопоставить сами отрезки наложением или сравнить их измеренные длины. Сравнение нужно, чтобы выбрать более длинный отрезок, проверить равенство или решить задачу.
При сравнении наложением сначала совмещают начала отрезков и располагают их вдоль одной прямой. Так начала оказываются в одинаковом месте, и различие между длинами становится заметным по вторым концам. Если вторые концы тоже совпали, отрезки равны; если один конец выступает дальше, соответствующий отрезок длиннее. Нельзя просто приложить отрезки под разными углами: тогда положение концов будет трудно сравнить.
Если отрезки нельзя наложить или это неудобно, их длины измеряют линейкой. Начало отрезка совмещают с отметкой 0, а около второго конца считывают число на шкале. Такой способ особенно полезен, когда отрезки нарисованы на разных листах или один из них дан только в условии задачи. Результаты измерения затем можно сравнить как числа, если они записаны в одной единице.
Иногда длины записаны в разных единицах, например одна в сантиметрах, а другая в миллиметрах. Сравнивать числа в таких записях напрямую нельзя: сантиметр и миллиметр имеют разный размер. Поэтому сначала переводят длины в общую единицу, пользуясь соотношением 1 см = 10 мм. После этого большие и меньшие значения можно определить обычным сравнением чисел.
Результат сравнения длин сразу говорит о соотношении самих отрезков. Если длины равны, отрезки равны; если длина одного больше, этот отрезок длиннее, а второй короче. Например, длина 7 см больше длины 5 см на 2 см, значит, первый отрезок длиннее второго. Слово «длина» относится к числу с единицей, а слова «отрезок длиннее» — к геометрическим фигурам.
При сравнении важно не смешивать отрезок и его длину. Отрезок называют буквами его концов, например AB, а длину выражают числом и единицей измерения: 4 см. Буквы обозначают фигуру, а число с единицей сообщает, насколько она протяжённа. Такое различие помогает правильно записывать ответ: длина AB равна 4 см, а отрезок AB имеет такую длину.
| Способ или результат | Что делают | Как определяют результат |
|---|---|---|
| Наложение | Совмещают начала отрезков и направляют их вдоль одной прямой. | Сравнивают положение вторых концов: совпали — отрезки равны, один выступает — он длиннее. |
| Измерение линейкой | Измеряют каждый отрезок, совмещая его начало с отметкой 0. | Сравнивают полученные длины, предварительно проверив единицы измерения. |
| Длины в одинаковых единицах | Записывают обе длины, например, в сантиметрах. | Сравнивают числа: большей длине соответствует более длинный отрезок. |
| Длины в разных единицах | Переводят обе длины в одну единицу, например миллиметры. | Сравнивают числа после перевода, а затем формулируют вывод об отрезках. |
| Равные, более длинный и более короткий отрезки | Сопоставляют длины или отрезки наложением. | Равные длины означают равные отрезки; большая длина указывает на более длинный отрезок. |
Сначала выбери способ, который подходит к условию: наложение или измерение. Если известны длины, проверь, в одинаковых ли единицах они записаны. В последнем столбце таблицы найдёшь, как связать результат сравнения с самими отрезками.
Задача 1. Сравни два отрезка, изображённых на бумаге, если их можно вырезать или перенести на кальку. Чтобы сравнение было точным, нужно поставить концы отрезков в одинаковое положение. Наложение подходит, потому что не требует считывать деления линейки. После совмещения останется сравнить дальние концы.
Если вторые концы совпали, отрезки равны; если один выступил дальше, этот отрезок длиннее. Ответ: результат определяется по положению вторых концов после наложения.
Задача 2. Длина одного отрезка равна 6 см, другого — 52 мм. Какой отрезок длиннее? Сначала заметим, что сравнивать числа 6 и 52 нельзя: они относятся к разным единицам. Переведём обе длины в миллиметры, чтобы сравнить одинаковые величины.
Ответ: длиннее отрезок длиной 6 см.
Задача 3. Отрезок AB имеет длину 8 см, а отрезок CD на 3 см длиннее AB. Сравни отрезки и найди длину CD. Выражение «на 3 см длиннее» означает, что к длине AB нужно прибавить 3 см. После вычисления сравним получившиеся длины, а не обозначения отрезков.
Ответ: CD = 11 см; отрезок CD длиннее отрезка AB.
Ошибка: сравнивать числа 6 и 52, не обращая внимания на единицы. Её допускают, потому что в записи замечают числа, но забывают, что сантиметр и миллиметр имеют разную величину. Проверь себя: одинаковы ли единицы у обеих длин? Если нет, сначала переведи их в одну единицу: 6 см = 60 мм, и только потом сравнивай.
Ошибка: считать, что отрезок, который выглядит длиннее на рисунке, обязательно длиннее в действительности. Такое бывает, потому что рисунок может быть выполнен не в масштабе или изображён неточно. Проверь себя измерением линейкой либо данными условия; не делай вывод только на глаз.
Ошибка: путать обозначение отрезка с его длиной. Буквы AB называют отрезок, а запись 5 см указывает его длину; путаница появляется, когда эти записи воспринимают как одно и то же. Проверь себя: в ответе на вопрос «какой отрезок?» укажи буквы, а на вопрос «какова длина?» — число с единицей измерения.
Ошибка: при наложении совместить отрезки не началами или расположить их под разными углами. Тогда вторые концы оказываются в несопоставимом положении, хотя кажется, что отрезки просто приложены друг к другу. Проверь себя: начала должны находиться в одной точке, а оба отрезка — лежать вдоль одной прямой.
Для работы с отрезками нужно уметь распознавать точки и отрезки, пользоваться линейкой и понимать, что обозначают единицы длины. Если единицы разные, пригодится перевод сантиметров в миллиметры и обратно. Эти умения помогают выполнять измерения аккуратно и записывать результат точно.
Сравнение длин используют, когда строят отрезок заданной длины: можно проверить линейкой, получился ли нужный размер. Оно также встречается в задачах на периметр, то есть на длину границы фигуры. Чтобы найти периметр, складывают длины сторон, поэтому важно правильно измерять их и согласовывать единицы.
Как понять, какой из двух отрезков длиннее?
Если отрезки можно совместить, расположи их начала в одной точке и направь вдоль одной прямой. Отрезок, второй конец которого находится дальше, длиннее. Если совместить их нельзя, измерь оба и сравни длины в одинаковых единицах.
Можно ли сравнить отрезки, не измеряя их линейкой?
Да, если отрезки можно наложить друг на друга или перенести на кальку. Совмести один конец каждого отрезка: положение других концов покажет результат. Если наложение неудобно, используй линейку.
Чем отрезок отличается от его длины?
Отрезок — геометрическая фигура, ограниченная двумя точками. Его обозначают буквами концов, например AB. Длина — число с единицей измерения, например 5 см.
Что делать, если длины записаны в разных единицах?
Сначала переведи обе длины в одну и ту же единицу. Например, 52 мм — это 5 см 2 мм, или 5,2 см. Затем сравни получившиеся значения.
Можно ли определить длину отрезка только по рисунку?
Не всегда: рисунок может быть выполнен не в масштабе. Поэтому нельзя делать вывод о длине только по тому, как отрезок выглядит на странице. Измерь его линейкой или используй данные условия.
4.1. Сравнение отрезков
