§ 4. Действия с отрезками

Определения и обозначения

Длина отрезка — числовая величина, показывающая, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Единичный отрезок — выбранный отрезок, длину которого принимают за единицу, например сантиметр. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и выражать их размеры числом. Если длина отрезка AB равна 5 см, записывают AB = 5 см.

Сумма отрезков — отрезок, полученный последовательным откладыванием длин слагаемых отрезков на одном луче. Слагаемые — это отрезки, которые складывают; их длины можно обозначить, например, a и b. Сумма нужна, когда требуется построить один отрезок, составленный из нескольких частей. Длина суммы равна сумме длин этих частей: a + b.

Разность отрезков — отрезок, длина которого равна разности длин уменьшаемого и вычитаемого отрезков; разность существует, если длина уменьшаемого не меньше. Уменьшаемое — больший отрезок, от которого отнимают часть, а вычитаемое — длина этой части. Разность показывает, какая длина останется после такого откладывания. Это понятие нужно для нахождения неизвестной части отрезка.

Как это устроено

Чтобы сложить отрезки, сначала выбирают луч и отмечают на нём начальную точку. От неё откладывают длину первого отрезка, а от полученной отметки — длину следующего. Так части оказываются соединены конец к началу и направлены вдоль одного луча; поэтому весь отрезок содержит обе длины без промежутка и наложения. Его длина равна сумме длин частей.

Разность строят на отрезке, который не короче вычитаемого. От его начала откладывают длину меньшего отрезка и отмечают конец этой части. Между отметкой и концом большего отрезка остаётся искомая часть, потому что весь больший отрезок состоит из отложенной длины и остатка. Поэтому длина остатка равна длине большего отрезка минус длина меньшего.

Чтобы перенести длину без измерения, раскрой циркуль так, чтобы его игла и карандаш совпали с концами данного отрезка. Затем, не меняя раскрытия, поставь иглу циркуля в начальную точку луча и сделай отметку дугой. Расстояние от начала луча до отметки будет равно исходному отрезку, ведь расстояние между ножками циркуля сохранилось. Так можно работать и с линейкой, на которой нет удобных делений, или с отрезком неизвестной длины.

Действия с отрезками связаны с действиями с их длинами: при сложении длины частей складываются, а при вычитании из общей длины вычитают длину одной части. Если длины выражены одним и тем же единичным отрезком, для них действуют те же правила, что и для чисел. Например, отрезки длиной 3 см и 2 см дают сумму длиной 5 см. Геометрическое построение показывает, где именно располагаются части, а вычисление помогает заранее узнать длину результата.

При вычитании нужно выбрать уменьшаемый не короче вычитаемого, иначе не получится отложить меньший отрезок внутри большего и увидеть остаток. Если длины равны, разность равна нулю: оставшейся части нет. После построения можно измерить результат линейкой и сравнить его с вычислением по длинам. Совпадение измеренной и ожидаемой длины служит проверкой, хотя при черчении возможна небольшая погрешность.

Сложение и вычитание отрезков

Сначала найди в таблице нужное действие, затем проверь условие и способ построения. В последнем столбце указано, когда действие возможно, а в столбце о длине — чему должен равняться результат. Таблица подходит и для построения циркулем, и для проверки вычислением.

Разбор задач

Задача 1. Даны отрезки длиной 3 см и 2 см. Постройте отрезок, равный их сумме. Нужно получить один отрезок, который состоит из обеих заданных длин. Сначала зададим его геометрическое расположение, а после проверим длину вычислением.

1. Начертим луч и отметим его начало точкой A.
2. Отложим от A 3 см и поставим отметку B. От B в том же направлении отложим 2 см и получим точку C.
3. Отрезок AC содержит обе части, поэтому его длина равна 3 см + 2 см = 5 см.

Ответ: отрезок AC длиной 5 см. Здесь важно откладывать вторую длину от конца первой, а не начинать её заново от A: только так части образуют одну сумму.

Задача 2. Постройте разность отрезков длиной 7 см и 4 см. Вычитаемая длина меньше уменьшаемой, значит, на отрезке 7 см можно отложить 4 см и получить остаток. Расположим эту часть от начала большего отрезка, чтобы остаток остался у его конца.

1. Построим отрезок AB длиной 7 см.
2. От точки A на AB отложим 4 см и отметим конец этой части точкой C.
3. Оставшаяся часть CB имеет длину 7 см − 4 см = 3 см.

Ответ: разность равна 3 см, это отрезок CB. Проверим вычисление: 4 см + 3 см составляют исходные 7 см, значит, длина остатка найдена верно.

Задача 3. Постройте отрезок, длина которого равна сумме двух данных отрезков, а затем отнимите от него третий отрезок; проверьте результат измерением. Пусть длины двух первых отрезков равны a и b, а третьего — c. Сначала надо получить общую длину a + b и убедиться, что её достаточно для вычитания c.

1. На луче циркулем последовательно отложим длины первых двух отрезков. Полученный отрезок имеет длину a + b.
2. От начала этого отрезка отложим длину третьего отрезка c. Если a + b ≥ c, остаток существует и его длина равна (a + b) − c.
3. Измерим остаток линейкой и сравним результат с вычислением. Если исходные длины известны в сантиметрах, вычислим (a + b) − c и проверим совпадение.

Ответ: искомая длина равна (a + b) − c при условии a + b ≥ c. При переносе циркулем важно не менять его раскрытие, а при вычитании начинать откладывать третий отрезок от начала суммы.

Типичные ошибки

Иногда части откладывают не на одном луче: например, вторую начинают в стороне или направляют в другую сторону. Тогда построение не показывает сумму длин в виде одного составного отрезка, потому что части не соединены подряд. Проверь себя: конец первой части должен совпасть с началом второй, а обе части должны лежать на одном луче.

При вычитании меньший отрезок иногда откладывают от конца большего. Тогда оставшаяся часть оказывается у его начала, и можно ошибочно принять за разность отложенную часть. Ошибка возникает из-за того, что не отмечено, какая именно часть вычитается. Проверь построение: от начала большего отрезка должна идти длина вычитаемого, а остаток должен быть между её концом и концом большего.

Нельзя построить разность в выбранном порядке, если вычитаемый отрезок длиннее уменьшаемого. В таком случае его длина не помещается внутри уменьшаемого, и геометрического остатка на нём не будет. Перед построением сравни длины или измерь их линейкой; переставлять отрезки местами можно только если задача допускает изменение порядка вычитания.

Некоторые думают, что для переноса отрезка обязательно нужно знать его длину в сантиметрах. Это неверно: при переносе циркуль сохраняет расстояние между концами, даже если число неизвестно. Ошибка часто возникает, когда измерение путают с построением. Проверь себя, совместив ножки циркуля с исходным отрезком и не меняя раскрытия до переноса на луч.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужно различать отрезок и луч: отрезок имеет два конца, а луч начинается в одной точке и продолжается в одном направлении. Также понадобятся линейка, чтобы чертить и измерять, и понимание того, что длина — число с единицей измерения. Эти знания помогают правильно выбрать место, откуда откладывать части.

Сложение и вычитание отрезков пригодятся при построении геометрических фигур, когда надо составить сторону из частей или найти недостающий участок. Они помогают решать задачи на неизвестную длину: если известна общая длина и одна часть, другую находят вычитанием. Построение показывает ответ на чертеже, а вычисление позволяет проверить его.

Что запомнить

• Сумму отрезков строят, откладывая их длины подряд на одном луче.
• Длина суммы равна сумме длин слагаемых отрезков.
• Разность строят, откладывая меньший отрезок на большем.
• Длина разности равна разности длин исходных отрезков.
• Вычитаемый отрезок не может быть длиннее уменьшаемого.
• Длину отрезка можно перенести циркулем, не измеряя её линейкой.