"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Куб — объёмная фигура с квадратными гранями, равными рёбрами и вершинами, где сходятся рёбра. Из одинаковых маленьких кубиков можно строить большие кубы и другие конструкции. Чтобы узнать, сколько кубиков использовано, постройку удобно мысленно разделить на слои: одинаковые слои можно пересчитать умножением, а разные — посчитать по отдельности и сложить. Так геометрическая фигура помогает освоить способы точного подсчёта.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб — пространственная фигура, ограниченная шестью одинаковыми квадратными гранями. Пространственная фигура имеет длину, ширину и высоту, поэтому её можно рассматривать не только как плоский рисунок. Кубы встречаются в постройках из кубиков и помогают описывать объёмные предметы. Чтобы говорить о такой фигуре точно, нужно знать названия её частей.
Грань куба — квадрат, который является одной из его плоских сторон. У куба есть грани, направленные в разные стороны, но каждая из них остаётся квадратом. Гранями удобно описывать, как кубики соприкасаются друг с другом. Например, два кубика можно поставить рядом так, чтобы одна грань одного прилегала к грани другого.
Ребро куба — отрезок, по которому встречаются две грани; все рёбра куба равны. У ребра есть длина, а его концы принадлежат вершинам. Рёбра помогают увидеть границы граней и сравнить размеры куба. Равенство всех рёбер означает, что длина, ширина и высота куба одинаковы.
Вершина куба — точка, в которой сходятся три ребра. Вершины находятся по углам куба и соединяют его рёбра между собой. Они нужны, чтобы описывать, где именно встречаются части фигуры. Если на рисунке трудно различить рёбра, можно искать точки, из которых выходят по три ребра.
У куба шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Это связано с тем, как устроена фигура: у неё есть передняя и задняя, верхняя и нижняя, а также две боковые стороны. Рёбра образуют границы квадратных граней, причём каждое ребро принадлежит двум граням. В каждой вершине встречаются три ребра, поэтому вершина связывает сразу три направления фигуры.
Из одинаковых кубиков можно составлять более крупные конструкции: ставить их рядом и друг на друга. Если совместить плоские стороны кубиков, их грани будут оставаться параллельными, а постройка получится аккуратной и устойчивой. Важное условие подсчёта — кубики не должны перекрываться или проникать друг в друга. Так каждое место в конструкции занимает отдельный кубик, который можно учесть.
Чтобы найти число кубиков в конструкции с одинаковыми слоями, сначала определи, сколько кубиков помещается в одном слое. Затем посчитай сами слои и умножь первое число на второе. Умножение заменяет многократное сложение: вместо того чтобы повторять одинаковое количество несколько раз, достаточно найти произведение. Способ подходит только тогда, когда в каждом слое кубиков поровну.
Прямоугольную конструкцию удобно описывать тремя размерами: длиной, шириной и высотой в кубиках. В одном горизонтальном ряду кубики заполняют длину, несколько рядов составляют ширину слоя, а одинаковые слои поднимаются на высоту. Поэтому общее число кубиков находят умножением количества в длину, ширину и высоту. Такой подсчёт работает, если конструкция заполнена целиком и имеет одинаковые прямоугольные слои.
В ступенчатой постройке или конструкции с разными слоями количество кубиков меняется от уровня к уровню. Поэтому умножение числа кубиков в одном слое на число слоёв даст неверный результат. Посчитай каждый слой отдельно, а потом сложи результаты. Так учитываются и широкие нижние уровни, и более узкие верхние.
| Что рассматриваем | Как определить | Как найти общее число кубиков |
|---|---|---|
| Одинаковые слои | Проверить, что в каждом слое одинаковое число кубиков | Число кубиков в одном слое умножить на число слоёв |
| Кубики в одном слое | Посчитать ряды и кубики в каждом ряду | Количество рядов умножить на число кубиков в ряду |
| Прямоугольная конструкция | Определить размеры в длину, ширину и высоту | Перемножить три количества |
| Конструкция с разными слоями | Посчитать кубики отдельно на каждом уровне | Сложить числа кубиков во всех слоях |
Сначала реши, одинаковы ли слои и заполнена ли конструкция целиком. Затем выбери подходящую строку таблицы: для одинаковых слоёв используй умножение, для разных — сложение результатов подсчёта. Если нужно, начни с рядов в одном слое, чтобы не пропустить кубики.
Задача 1. Из восьми одинаковых кубиков составили куб 2 × 2 × 2. Сколько кубиков находится в каждом слое? Размеры показывают, что по высоте постройка состоит из двух уровней. Так как кубики расположены ровно, слои одинаковые, и все восемь кубиков распределены поровну.
Ответ: в каждом слое 4 кубика. Проверка по горизонтальным размерам подтверждает, что в слое помещается 2 · 2 кубика. Умножение числа в слое на число слоёв даёт 4 · 2 = 8.
Задача 2. В каждом ряду прямоугольной конструкции 4 кубика, в слое 3 ряда, а слоёв 2. Нужно найти, сколько кубиков использовали всего. Здесь сначала удобно узнать количество в одном слое. Поскольку слои одинаковы, найденное число можно повторить умножением.
Ответ: использовали 24 кубика. Сначала перемножили длину ряда и число рядов, а затем учли высоту конструкции. Такой порядок помогает не смешать число кубиков в одном слое с числом слоёв.
Задача 3. В конструкции три слоя: в нижнем 12 кубиков, в среднем 8, в верхнем 4. Нужно узнать общее количество. Количество кубиков на уровнях меняется, поэтому считать их одинаковыми нельзя. Найдём сумму, отдельно учитывая каждый слой.
Ответ: использовали 24 кубика. Сложение подходит, потому что каждый слой посчитан отдельно и размеры уровней различаются. Для проверки можно пересчитать кубики каждого уровня ещё раз, не пропуская закрытые части постройки.
Ошибка — считать только кубики, видимые спереди. За ними могут находиться другие кубики, поэтому рисунок показывает не все части конструкции. Эту ошибку допускают, когда принимают видимое изображение за всю постройку. Проверь себя: представь, что смотришь на конструкцию сверху и сбоку, или мысленно разбери её на слои.
Можно забыть нижние или задние кубики, на которые опираются видимые. Такие кубики часто закрыты, но без них некоторые верхние части конструкции не могли бы стоять на своих местах. Проверь, есть ли под каждым видимым кубиком опора и заполнено ли пространство за передним рядом. Подсчёт по слоям помогает найти пропущенные кубики.
Нельзя умножать число кубиков в одном слое на число слоёв, если слои различаются. Умножение предполагает, что одно и то же количество повторяется одинаковое число раз, а в ступенчатой конструкции это не так. Сравни число кубиков на каждом уровне; если оно меняется, сложи результаты отдельных подсчётов. Для проверки можно записать количество по слоям в ряд и пересчитать сумму.
Не путай грань, ребро и вершину: грань — плоская сторона, ребро — отрезок на границе граней, вершина — точка встречи рёбер. Путаница возникает, если на рисунке все части куба просто называют его сторонами. Проверь себя по форме: грань занимает площадь, ребро выглядит как линия, а вершина — отдельная точка. Названия помогают точно описать устройство фигуры.
Для работы с кубиками нужно уметь считать предметы, распознавать квадрат и прямоугольник, различать длину, ширину и высоту. Эти знания помогают увидеть размеры конструкции и правильно посчитать её ряды и слои. Подсчёт слоёв пригодится при изучении объёма прямоугольного параллелепипеда — фигуры с прямоугольными гранями. Представление о гранях, рёбрах и вершинах поможет изучать другие многогранники и изображать объёмные фигуры.
Чем грань куба отличается от ребра?
Грань — это плоская квадратная сторона куба. Ребро — отрезок на границе двух соседних граней.
Сколько граней, рёбер и вершин у куба?
У куба шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. В каждой вершине сходятся три ребра.
Как посчитать кубики, которые не видны на рисунке?
Представь конструкцию разобранной на горизонтальные слои и посчитай кубики в каждом из них. Учитывай также те кубики, на которые опираются видимые, даже если они закрыты.
Когда количество кубиков можно найти умножением?
Умножение удобно, когда в каждом слое одинаковое число кубиков: число кубиков в слое умножают на число слоёв. В прямоугольной конструкции также можно перемножить числа кубиков в длину, ширину и высоту.
Что делать, если в слоях разное число кубиков?
Посчитай кубики отдельно в каждом слое. Затем сложи полученные числа, не умножая количество кубиков в одном слое на общее число слоёв.
3.2. Куб и конструкции из кубиков
