3.1. Плоскость и ее особенности

Определения и обозначения

Плоскость — бесконечная ровная поверхность, у которой нет толщины. Лист бумаги или поверхность стола помогают её представить, но сама плоскость продолжается за их края. Это понятие нужно, чтобы говорить о расположении точек и фигур на ровной поверхности.

Точка принадлежит плоскости, если лежит на ней. Например, запись A ∈ α читают так: точка A принадлежит плоскости α; знак ∈ означает «принадлежит». Это обозначение помогает коротко сообщить, где находится точка, не описывая её словами.

Точки не лежат на одной прямой, если через них нельзя провести одну общую прямую. Например, три точки могут образовать вершины треугольника: одна прямая не пройдёт через все три. Это свойство проверяют, когда хотят определить плоскость по точкам.

Если три точки A, B и C не лежат на одной прямой, они задают единственную плоскость. Её обозначают по этим точкам: плоскость ABC. Такая запись указывает, о какой именно плоскости идёт речь, а условие о точках на одной прямой нельзя пропускать.

Как это устроено

Лист бумаги и стол похожи на плоскость тем, что их поверхности ровные и плоские. Но у настоящей плоскости нет ни края, ни толщины, тогда как предметы ограничены и материальны. Поэтому их называют моделями: они помогают представить математическое понятие, хотя и не совпадают с ним полностью. Сравнение с такой моделью удобно, когда нужно мысленно расположить на плоскости точки или фигуры.

На рисунке плоскость обычно показывают как ограниченный четырёхугольник, потому что весь бесконечный объект на листе не поместится. Нарисованные края обозначают только границу изображения, а не границу плоскости. Мысленно продолжай её в любую сторону за пределы фигуры: продолжение не меняет её свойств. Так не возникнет ошибочного впечатления, будто точка за нарисованным краем обязательно находится вне плоскости.

Чтобы показать положение точки, её отмечают на изображённой плоскости или вне её. Точка на поверхности считается принадлежащей плоскости, а точка, нарисованная над или под ней, — не принадлежащей. Для записи используют обозначения A ∈ α и A ∉ α; знак ∉ читают «не принадлежит». Такое чтение помогает перевести условные знаки чертежа в точное утверждение.

Если три точки лежат на одной прямой, все они сообщают только о положении этой прямой. Через одну прямую можно провести не одну, а много плоскостей: представь, что поворачиваешь большой лист вокруг прямой, словно вокруг оси. Поэтому нельзя выбрать одну-единственную плоскость только по трём точкам на этой линии. Чтобы уточнить плоскость, понадобится точка, которая не лежит на прямой.

Три точки, не лежащие на одной прямой, образуют своего рода опору: через них проходит ровно одна плоскость. Если бы можно было провести через эти точки две разные плоскости, у них совпадала бы общая прямая, проходящая через точки. Тогда все три точки оказались бы на одной прямой, что противоречит условию. Поэтому сначала проверяют, что точки не выстроились в одну линию, и лишь затем называют плоскость по ним.

Плоскость и способы её задания

Сначала найди в таблице, какой объект описан, а затем прочитай его основную мысль. Обозначения показывают, принадлежит ли точка плоскости, а три буквы помогают назвать плоскость. Проверяй, что точки для такой записи не лежат на одной прямой.

Разбор задач

Точки на плоскости и вне её

Условие: на рисунке изображена плоскость α и точки A, B, C. Точки A и B отмечены на её поверхности, а C — над ней. Нужно указать, какие точки принадлежат плоскости. По одному только названию точки ответить нельзя: сначала рассматривают её положение относительно плоскости.

1. Найди изображённую плоскость и отметь, где проходит её поверхность.
2. Проверь точку A: она лежит на поверхности, значит, A ∈ α.
3. Проверь точку B: она также лежит на поверхности, значит, B ∈ α.
4. Точка C расположена над плоскостью, а не на ней, поэтому C ∉ α.

Ответ: плоскости α принадлежат точки A и B; точка C ей не принадлежит. Здесь важно отличать точку на поверхности от точки, которую на рисунке поставили над ней. Рисунок показывает принадлежность условным расположением, а обозначения записывают вывод.

Плоскость по трём точкам

Условие: точки A, B и C не лежат на одной прямой. Нужно обозначить плоскость, проходящую через эти точки. Условие уже сообщает, что точки не выстроены в одну линию, поэтому они задают ровно одну плоскость. Остаётся записать её название по трём точкам.

1. Проверь условие: через A, B и C нельзя провести одну общую прямую.
2. Используй все три точки, чтобы назвать заданную ими плоскость.
3. Запиши название: плоскость ABC.

Ответ: плоскость ABC. Порядок букв в названии не задаёт новую плоскость: те же точки можно назвать в другом порядке. Главное — использовать три точки, не лежащие на одной прямой.

Точки на одной прямой

Условие: точки P, Q и R лежат на одной прямой. Можно ли однозначно определить плоскость, проходящую через них? Нужно выяснить, хватает ли этих точек, чтобы выбрать одну плоскость. Для этого применим правило о трёх точках и проверим его условие.

1. Установи, лежат ли точки на одной прямой: по условию лежат.
2. Вспомни, что плоскость однозначно задают три точки, только если они не лежат на одной прямой.
3. Представь поворот плоскости вокруг прямой PQR: прямая останется общей, но плоскости будут различаться.

Ответ: нет, однозначно определить плоскость нельзя. Через прямую PQR можно провести несколько плоскостей. Значит, трёх точек достаточно для единственного выбора только при условии, что они не лежат на одной прямой.

Типичные ошибки

Ошибка: считать плоскостью только конечную часть на рисунке. Так думают, потому что на листе изображён ограниченный четырёхугольник с видимыми краями. Но края принадлежат чертежу, а не самой бесконечной плоскости. Проверь себя: мысленно продолжи поверхность за край изображения.

Ошибка: приписывать плоскости толщину из-за того, что на рисунке она выглядит широкой полосой или фигурой. Ширина нужна, чтобы поверхность было удобно увидеть, а толщина на чертеже не показывает свойство плоскости. Проверь себя: вспомни, что у математической плоскости нет толщины. Лист может быть толстым, но он только модель.

Ошибка: считать, что любые три точки задают одну плоскость. Обычно забывают проверить, можно ли провести через них общую прямую. Если все три точки лежат на одной прямой, через неё проходят разные плоскости. Проверь себя: перед обозначением плоскости сначала установи, что точки не лежат на одной прямой.

Ошибка: путать точку на плоскости с точкой над ней или под ней на рисунке. Это происходит, если смотреть только на расположение точки на листе, не учитывая изображённую поверхность. Сравни положение точки с самой плоскостью и затем выбери знак ∈ или ∉. Точка на поверхности принадлежит плоскости, а отмеченная вне её — нет.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать точку и прямую, читать их обозначения и определять, лежат ли точки на одной прямой. Эти знания нужны, чтобы правильно проверить условие задания плоскости тремя точками. Если проверку пропустить, можно ошибочно решить, что плоскость определена единственным образом.

Понятие плоскости пригодится при изучении фигур, расположенных на плоскости, и при чтении геометрических чертежей. На нём также строится разговор о взаимном расположении прямых: чертёж показывает, какие объекты лежат в одной плоскости. Поэтому умение различать точки на плоскости и вне её помогает понимать более сложные геометрические рисунки.

Что запомнить

• Плоскость бесконечна и не имеет толщины.
• Ровная поверхность предмета может служить моделью плоскости.
• На чертеже плоскость изображают только частично.
• Точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей.
• Три точки на одной прямой не задают единственную плоскость.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.