§ 3. Исследование плоскости и заполнение пространства

Определения и обозначения

Плоскость — бесконечная ровная поверхность. На ней можно изображать и сравнивать плоские фигуры, например выяснять, как расположены рядом квадраты или треугольники. Представить всю бесконечную плоскость трудно, поэтому обычно рассматривают её часть, например лист бумаги.

Замощение плоскости — покрытие плоскости одинаковыми или разными фигурами без промежутков и наложений. Фигуры должны закрыть поверхность целиком, а не просто соприкасаться отдельными сторонами. Это понятие помогает проверять, можно ли повторять узор до бесконечности.

Заполнение пространства — расположение объёмных тел так, чтобы они занимали пространство без пустот и взаимных пересечений. Например, можно рассмотреть, как уложить одинаковые кубики в коробку. Так проверяют, удаётся ли использовать весь объём, не оставляя щелей.

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Куб — пример многогранника: его поверхность образована квадратами. Форма многогранника важна для заполнения пространства, потому что от неё зависит, могут ли тела плотно соприкасаться гранями.

Как это устроено

Чтобы проверить, замощают ли фигуры плоскость, нужно соединить их так, как предполагает узор. Если края оставляют пустые участки или фигуры заходят одна на другую, замощения нет. Недостаточно увидеть, что две соседние фигуры соприкасаются: узор должен без щелей продолжаться вокруг каждой точки.

Квадраты подходят для замощения, потому что их прямые углы точно заполняют место вокруг вершины. В одной точке можно соединить четыре квадрата: 4 · 90° = 360°. Если сумма углов меньше 360°, останется промежуток, а если больше — фигуры пришлось бы наложить друг на друга.

Равносторонние треугольники покрывают плоскость по тому же правилу. Их углы равны 60°, поэтому вокруг общей вершины помещаются шесть треугольников: 6 · 60° = 360°. У правильного шестиугольника каждый угол равен 120°, и вокруг точки сходятся три таких угла: 3 · 120° = 360°. В обоих случаях фигуры заполняют место вокруг вершины ровно.

Правильный пятиугольник сам по себе не образует такое замощение, потому что его внутренний угол равен 108°. Четыре угла дают 432°, то есть больше полного угла, а три дают 324°, то есть меньше 360°. Поэтому вокруг вершины нельзя расположить целое число одинаковых правильных пятиугольников без наложения или промежутка.

Чтобы заполнить пространство одинаковыми телами, их повторяют и плотно ставят рядом. Кубы можно укладывать гранями друг к другу: грани совпадают по форме и размеру, поэтому между телами не остаётся щелей. Так можно складывать кубики рядами и слоями, заполняя коробку прямоугольной формы. Если форма тел не позволяет граням плотно соприкасаться, между ними могут оставаться пустоты.

Фигуры и тела при заполнении плоскости и пространства

Сначала найдите в таблице нужную фигуру или тело, затем прочитайте ответ и объяснение. Для плоских фигур проверяйте, как их углы складываются вокруг вершины. Для тел подумайте, могут ли они соприкасаться так, чтобы не оставалось пустот.

Разбор задач

Квадраты на листе

Задача. Нарисуй несколько квадратов так, чтобы они покрыли часть листа без промежутков и наложений. Продолжи узор. Нужно не просто поставить квадраты рядом, а убедиться, что узор можно продолжать, сохраняя то же расположение.

1. Нарисуй квадрат и добавь к нему такой же квадрат, совместив одну сторону. Проверь, что квадраты не перекрывают друг друга и между сторонами нет пустого места.
2. Продолжай добавлять квадраты рядами: у соседних квадратов должны совпадать стороны. В местах, где сходятся вершины, размести четыре квадрата.
3. Проверь углы в общей вершине. Четыре угла по 90° дают 360°, поэтому вокруг неё поверхность покрыта целиком.

Ответ. Квадраты можно продолжать рядами и столбцами: они покроют часть листа без промежутков и наложений. Узор можно продолжать дальше в том же порядке.

Правильные шестиугольники

Задача. Угол правильного шестиугольника равен 120°. Сколько таких шестиугольников должно сходиться в одной точке, чтобы покрыть плоскость вокруг неё? Здесь достаточно узнать, сколько углов помещается в полный угол.

1. Вспомни, что полный угол вокруг точки равен 360°. Именно такой угол нужно заполнить шестиугольниками.
2. Раздели 360° на 120°: 360° : 120° = 3. Значит, вокруг общей точки должны сойтись три угла шестиугольников.
3. Проверь результат умножением: 3 · 120° = 360°. Сумма совпадает с полным углом, поэтому нет ни щели, ни наложения.

Ответ. В одной точке должны сходиться три правильных шестиугольника.

Кубики в коробке

Задача. Можно ли уложить одинаковые кубики в коробку прямоугольной формы без щелей? Объясни и предложи способ укладки. Для ответа нужно рассмотреть, как кубики соприкасаются друг с другом и со стенками коробки.

1. Поставь кубики рядом гранями, чтобы они образовали первый ровный ряд. Одинаковые квадратные грани будут прилегать друг к другу без промежутков.
2. Составь из рядов слой и поставь сверху следующий слой. Грани кубиков в соседних слоях также должны плотно соприкасаться.
3. Продолжай укладку, пока коробка заполняется. Для укладки без щелей её длина, ширина и высота должны подходить к размерам кубиков: по каждой стороне должно помещаться целое число кубиков.

Ответ. Кубики можно уложить без щелей рядами и слоями, если размеры коробки позволяют разместить их целое число по каждой стороне.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что фигуры замощают плоскость, если они просто соприкасаются. Соприкосновение ещё не гарантирует, что рядом не осталось пустого места или наложения. Это легко пропустить, если смотреть только на одну сторону. Проверь весь узор: он должен закрывать поверхность, а фигуры не должны заходить друг на друга.

Ошибка — проверять только одну пару соседних фигур и не смотреть на общую вершину. Около неё могут собраться углы, сумма которых меньше или больше 360°. Такое бывает, когда внимание сосредоточено лишь на совпадении сторон. Посчитай, сколько углов сходится в точке, и сложи их величины.

Ошибка — путать заполнение плоскости с заполнением пространства. В первом случае располагают плоские фигуры, а во втором — объёмные тела, поэтому проверяют разные вещи. Путаница возникает из-за того, что и там и там предметы кладут рядом. Перед проверкой спроси себя, есть ли у рассматриваемых объектов объём.

Ошибка — думать, что любой многоугольник можно повторять без изменений. Возможность замощения зависит от размеров углов и того, как они собираются вокруг вершины. Если не проверять углы, узор может выглядеть подходящим только на небольшом участке. Сложи углы вокруг общей точки и сравни сумму с 360°.

Связь с другими темами

Для исследования замощений нужно различать плоские фигуры и объёмные тела, измерять углы и складывать их величины. Эти умения пригодятся при изучении многоугольников, свойств углов и симметрии: из повторяющихся фигур можно составлять геометрические узоры. Заполнение пространства связано с многогранниками и объёмом. Та же идея помогает понять, как укладывать предметы в коробку без пустот.

Что запомнить

• Замощение покрывает плоскость без промежутков и наложений.
• Вокруг любой точки замощения углы фигур должны составлять 360°.
• Квадратами можно покрыть плоскость без щелей.
• Равносторонними треугольниками можно замостить плоскость.
• Правильные шестиугольники также образуют замощение плоскости.
• Кубы можно укладывать так, чтобы заполнить пространство без пустот.