2.2. Координаты и рисунки из отрезков

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, на которой задают положение точек. Перпендикулярные оси пересекаются под прямым углом. Такая плоскость нужна, чтобы описывать место точки числами и затем находить его без догадок.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат; их пересечение называют началом координат. Горизонтальную ось обычно обозначают x, а вертикальную — y. Начало координат служит точкой отсчёта, от которой откладывают расстояния в обоих направлениях.

Координаты точки — пара чисел, указывающая её положение: первое число задаёт положение по оси абсцисс, второе — по оси ординат. Например, в записи (2; 3) число 2 относится к горизонтальному направлению, а 3 — к вертикальному. Пара чисел нужна, чтобы однозначно указать точку.

Координатный рисунок — изображение, которое получают, отмечая точки по координатам и соединяя их отрезками в заданном порядке. Список координат задаёт места точек, а порядок указывает, какие из них соединять. Так можно построить изображение, не рисуя его на глаз.

Как это устроено

Координатные оси обычно размечают равными единичными отрезками, а между ними получается сетка из клеток. Если одна клетка соответствует одной единице, по клеткам удобно считать расстояния от начала координат. Равные деления нужны, чтобы одинаковое число всегда означало одинаковый шаг, а сетка помогает не сбиться с направления.

Координаты записывают парой, потому что одного числа недостаточно: оно задаёт положение лишь вдоль одной оси. Сначала указывают горизонтальное перемещение, потом вертикальное — этот порядок соблюдают каждый раз. Поэтому (2; 3) и (3; 2) — разные точки: в первом случае нужно пройти 2 вправо и 3 вверх, а во втором — 3 вправо и 2 вверх.

Чтобы построить точку, сначала найдите начало координат и отложите первое число по горизонтальной оси. Затем от полученного места переместитесь по вертикали на число, указанное вторым. Этот способ удобен потому, что каждое действие отвечает только за одно направление и положение точки легче проверить.

Для координатного рисунка сначала отмечают все точки из списка, а затем соединяют каждую точку со следующей. Если в конце списка снова указана начальная точка, последний отрезок возвращает линию к началу. Следование списку важно: оно определяет путь линии и не позволяет случайно соединить не те точки.

Если изменить координаты, точка окажется в другом месте; если изменить порядок соединения, изменится путь отрезков. Поэтому одинаковый набор точек не всегда даёт одинаковое изображение. Координаты отвечают за положение точек, а порядок — за то, как они связаны линиями.

Как читать и строить точки на координатной плоскости

Пользуйтесь таблицей как коротким планом: найдите начало координат, прочитайте числа по порядку и учтите их знаки. При соединении точек сверяйтесь со списком, а не только с тем, какие точки расположены ближе друг к другу.

Разбор задач

Задача 1. Отметить точки A(2; 1) и B(−1; 3). Для каждой точки сначала выполняем горизонтальный шаг, потому что первое число относится к оси абсцисс. Затем выполняем вертикальный шаг по второму числу.

1. От начала координат для A пройдём 2 единицы вправо.
2. От полученного места поднимемся на 1 единицу и поставим A.
3. Для B от начала координат пройдём 1 единицу влево, так как первая координата отрицательная.
4. Поднимемся на 3 единицы и поставим B.

Ответ: точки A и B отмечены в положениях (2; 1) и (−1; 3).

Задача 2. Построить A(−2; 1), B(2; 1), C(2; −1), D(−2; −1) и соединить A—B—C—D—A. Здесь важно не просто отметить точки, но и провести отрезки по указанной последовательности, включая заключительный отрезок.

1. Отметим A: 2 единицы влево и 1 вверх.
2. Отметим B: 2 вправо и 1 вверх, затем C: 2 вправо и 1 вниз.
3. Отметим D: 2 влево и 1 вниз.
4. Проведём AB, BC и CD, а затем DA, чтобы вернуться к A.

Ответ: получился замкнутый прямоугольник. У него горизонтальные стороны соединяют точки с одинаковой второй координатой, а вертикальные — с одинаковой первой.

Задача 3. Построить точки (−3; 0), (−2; 2), (0; 1), (2; 2), (3; 0), (0; −2), (−3; 0) и соединить по порядку. Нужно проследить, как меняются обе координаты у соседних точек, а не переставлять их для удобства.

1. Последовательно отметим все семь записей; первая и последняя точки совпадают.
2. При переходе от (−3; 0) к (−2; 2) x увеличивается на 1, а y — на 2; далее к (0; 1) x увеличивается, а y уменьшается.
3. От (0; 1) к (2; 2) обе координаты увеличиваются, а к (3; 0) x увеличивается, y уменьшается.
4. От (3; 0) к (0; −2) обе координаты уменьшаются; от (0; −2) к (−3; 0) x уменьшается, а y увеличивается. Соединим каждую пару соседних точек.

Ответ: получится замкнутый рисунок. По каждому отрезку можно определить направления перемещения, сравнив отдельно первые и вторые координаты его концов.

Типичные ошибки

Если поменять координаты местами, точка окажется не там: первое число относится к горизонтали, второе — к вертикали. Так ошибаются, когда читают пару чисел как произвольный набор. Проверьте себя вопросом: какое число нужно отложить первым? Сначала должно быть выполнено перемещение по x.

Иногда единичные отрезки считают не от начала координат или принимают клетку за другое количество единиц. Это случается, если не проверить масштаб сетки перед построением. Отметьте начало координат и выясните, сколько единиц приходится на одну клетку; затем пересчитайте шаги от нуля.

При отрицательной координате можно случайно пойти в положительную сторону. Обычно знак пропускают и запоминают только число. Перед построением отдельно проверьте знак: минус означает движение против положительного направления оси — влево для x и вниз для y.

Если соединить точки не по списку или пропустить отрезок, получится другой рисунок. Причина часто в том, что хочется провести линии в более привычном порядке. Сверяйте каждую линию с парой соседних записей и отмечайте, какие отрезки уже построены; последнюю точку соединяйте с первой только по условию.

Связь с другими темами

Для работы с координатами полезно уметь считать по клеткам и отмечать числа на числовом луче. Эти умения помогают отсчитывать равные шаги и понимать, куда указывает знак числа. Знание положительных и отрицательных чисел нужно, чтобы размещать точки по обе стороны от начала координат.

Координатная плоскость пригодится при изучении графиков: график показывает, как связаны значения величин, а его точки тоже задаются парами координат. Она помогает и в задачах, где положение объекта описывают числами. Умение точно строить точки и читать их координаты станет основой для такой работы.

Что запомнить

• Координаты точки записывают парой чисел в определённом порядке.
• Первое число показывает положение по горизонтали, второе — по вертикали.
• Обе координаты отсчитывают от начала координат.
• Знак координаты показывает, в какую сторону от начала координат нужно двигаться.
• Чтобы построить координатный рисунок, точки отмечают и соединяют в заданном порядке.
• Изменение порядка соединения точек может изменить рисунок.

Как это устроено