3.3. Сравнение отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Обычно отрезок обозначают двумя заглавными буквами, например AB, где A и B — его концы. Это понятие нужно, чтобы точно описывать часть линии и работать с её длиной.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков укладывается в данном отрезке. Её записывают с единицей измерения: 5 см, 32 мм. Длина позволяет не просто смотреть на линию, а выражать её размер числом.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины; при наложении они полностью совпадают. Они могут занимать разное положение на листе, но размер у них один и тот же. Понятие равенства помогает установить, что один отрезок не длиннее и не короче другого.

Сравнение отрезков — определение того, какой из двух отрезков длиннее, короче или равен другому. Для этого сравнивают их длины, а не названия или положение на листе. Результат можно записать словами или знаками: AB больше CD, AB меньше CD, AB равно CD.

Как это устроено

Сначала отрезки можно сравнить на глаз: достаточно посмотреть, какой из них кажется длиннее. Но такой способ даёт только примерный результат, потому что небольшую разницу заметить трудно. Кроме того, наклон, расстояние между линиями и положение на странице могут обмануть зрение, поэтому для точного вывода нужны измерения.

При сравнении линейкой измеряют длину каждого отрезка в одинаковых единицах. Линейку прикладывают так, чтобы нулевая отметка совпала с одним концом, а затем смотрят на отметку у второго конца. Одинаковые единицы нужны потому, что числа 4 и 40 сами по себе ничего не решают, если первое означает сантиметры, а второе — миллиметры.

Если линейки нет, один отрезок можно перенести на другой с помощью кальки или циркуля. Калька позволяет обвести отрезок и приложить его копию, а циркуль сохраняет расстояние между ножками. Перенос нужен для того, чтобы сравнивать концы отрезков в одном месте, а не пытаться оценить их размер по памяти.

При наложении сначала совмещают один конец одного отрезка с концом другого и располагают их в одном направлении. Если совпали оба конца, длины одинаковы. Если один конец совпал, а второй оказался дальше, отрезок с дальним концом длиннее, потому что от общей точки он продолжается на большее расстояние.

Сравнивать длины можно и по числовым значениям. Например, 7 см больше 5 см, поэтому отрезок длиной 7 см длиннее отрезка длиной 5 см. Если числа равны и единицы одинаковы, отрезки равны; если единицы разные, сначала выполняют перевод, например 3 см превращают в 30 мм.

Способы сравнения отрезков

Таблица помогает выбрать подходящий способ и понять, какой вывод можно сделать. Для точной работы лучше использовать измерение или наложение, а сравнение на глаз оставлять для примерной оценки. При измерении всегда проверяй, что единицы одинаковы.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены отрезки AB и CD. Какой из них длиннее, если AB = 4 см, а CD = 6 см? Здесь обе длины уже записаны в сантиметрах, поэтому дополнительный перевод не нужен.

1. Сравниваем числа 4 и 6.
2. Так как 6 больше 4, длина CD больше длины AB.
3. Разность находить не требуется, потому что спрашивается только, какой отрезок длиннее.

Ответ: отрезок CD длиннее отрезка AB.

Задача 2. Сравни отрезки MN и PQ без линейки, используя кальку или циркуль. Такой способ подходит, когда длины неизвестны, но сами отрезки можно перенести или обвести.

1. Переносим отрезок MN на место отрезка PQ, совмещая один конец.
2. Проверяем положение вторых концов. Если конец MN совпал с концом PQ, отрезки равны.
3. Если конец MN оказался дальше, MN длиннее; если не дошёл до конца PQ, длиннее PQ.

Ответ: вывод зависит от положения второго конца после наложения; совпадение концов означает равенство.

Задача 3. Длина AB равна 3 см 5 мм, а длина CD — 34 мм. Определи, какой отрезок длиннее и на сколько. Смешанные единицы сначала нужно заменить одной единицей, иначе числа будут несопоставимы.

1. Переводим 3 см 5 мм в миллиметры: 3 см = 30 мм, значит, AB = 30 мм + 5 мм = 35 мм.
2. Сравниваем 35 мм и 34 мм: 35 больше 34, поэтому AB длиннее CD.
3. Находим разность: 35 мм − 34 мм = 1 мм.

Ответ: отрезок AB длиннее отрезка CD на 1 мм.

Типичные ошибки

Сравнение только по рисунку может привести к ошибке. Отрезок, который выглядит длиннее, иногда нарисован с нарушением масштаба. Проверь себя измерением линейкой или наложением.

Нельзя сразу сравнивать числа, записанные в разных единицах, например 4 см и 35 мм. Число 35 больше 4, но 35 мм меньше 4 см. Переведи обе длины в сантиметры или миллиметры и только потом сравнивай.

При измерении некоторые прикладывают начало отрезка к краю линейки, а не к нулевой отметке. Тогда показание может не совпасть с настоящей длиной. Проверь, что один конец стоит у 0, а второй находится напротив нужной цифры.

Совпадение одного конца ещё не доказывает равенство отрезков. Второй конец может оказаться дальше или ближе. После наложения обязательно сравни положение обоих концов.

Связь с другими темами

Для сравнения отрезков нужно знать, что такое отрезок, его концы и единицы измерения длины. Без этих понятий трудно правильно прочитать обозначение AB или записать результат измерения. Поэтому сначала уточняют, что именно измеряют и в каких единицах.

Сравнение длин пригодится при измерении и построении геометрических фигур. С его помощью проверяют стороны прямоугольника, выбирают отрезок нужного размера и находят различия между элементами фигуры. Это умение встречается и в задачах на периметр.

Перевод сантиметров и миллиметров в одинаковые единицы помогает решать задачи на длину. Знание равенства 1 см = 10 мм позволяет быстро заменять одну единицу другой. После перевода числа можно сравнить или вычесть их.

Что запомнить

• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Длины отрезков сравнивают в одинаковых единицах.
• Большему числовому значению длины соответствует более длинный отрезок.
• При наложении отрезков совпадение обоих концов означает равенство.
• Рисунок не всегда выполнен в масштабе, поэтому длину лучше измерить или перенести.