3.2. Взаимное расположение точек и отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; их называют концами отрезка. Например, отрезок с концами A и B обозначают AB. Между концами тоже лежат точки, и все они вместе с концами составляют отрезок. Это определение помогает понять, какую именно часть прямой нужно рассматривать на чертеже.

Точка принадлежит отрезку, если находится между его концами или совпадает с одним из них. Например, если C расположена между A и B на отрезке AB, то C принадлежит AB. Такое правило нужно, чтобы определить, входит ли выбранная точка в состав отрезка, а не просто лежит ли она где-то на той же прямой. Концы также обязательно учитывают.

Точка пересечения отрезков — общая точка, которая принадлежит обоим отрезкам. Если отрезки AB и CD пересеклись в точке K, то K лежит и на AB, и на CD. Поэтому недостаточно увидеть, что точка находится на одном отрезке. Это понятие помогает точно описать место встречи двух отрезков.

Общие точки отрезков — точки, принадлежащие каждому из двух отрезков. Общих точек может не быть, может быть одна или их может быть несколько. Например, при наложении частей отрезков на одной прямой общей становится вся их общая часть. Понятие нужно, чтобы различать разные варианты взаимного расположения отрезков.

Как это устроено

Чтобы определить положение точки относительно отрезка, сначала представь отрезок как часть прямой между двумя его концами. Затем проверь, лежит ли точка на этой части или совпадает с одним из концов. Если точка находится на продолжении прямой за концом отрезка, она отрезку не принадлежит. Такая проверка нужна потому, что прямая продолжается бесконечно, а отрезок занимает только ограниченную её часть.

Два отрезка могут не иметь общих точек, если расположены в разных местах и не соприкасаются. Так бывает, когда они лежат на параллельных прямых: параллельные прямые не встречаются, значит, не встретятся и отрезки на них. Но и на одной прямой отрезки могут быть раздвинуты так, что между ближайшими концами останется промежуток. Поэтому для ответа важно сравнить именно части прямых, ограниченные концами отрезков.

Отрезки пересекаются, если у них есть хотя бы одна общая точка. Когда пересечение происходит не на концах, точка встречи находится внутри каждого отрезка: иначе один из них лишь соприкасался бы с другим своим концом. Причина в том, что общая точка должна одновременно входить в обе ограниченные части прямых. Отдельно проверь оба отрезка, даже если их содержащие прямые явно пересекаются.

На одной прямой отрезки могут иметь один общий конец, частично совпадать или вообще не иметь общих точек. Это зависит от того, где расположены их концы: соприкосновение концами даёт одну общую точку, а наложение частей — несколько. Например, отрезки AB и CD могут перекрываться на участке от C до B. Если же один отрезок закончился раньше, чем начинается другой, общей части у них нет.

Если отрезки лежат на одной прямой и имеют общие точки, общих точек может быть несколько. При частичном наложении общая часть сама является отрезком: в ней находятся и крайние точки, и все точки между ними. Это происходит потому, что между любыми двумя точками отрезка тоже лежат точки, принадлежащие ему. Поэтому нельзя всегда называть единственную точку пересечения: иногда нужно указать общий отрезок.

Взаимное расположение точек и отрезков

Сначала найди, какие именно объекты сравниваются: точку с отрезком или два отрезка. Затем проверь расположение на чертеже и отдельно учти концы. Для пары отрезков пересчитай общие точки либо отметь их общий участок.

Разбор задач

Задача 1. На отрезке AB отмечены точки C и D. Определите, какие из точек A, B, C, D принадлежат отрезку AB. По условию C и D находятся на самом отрезке. Нужно также проверить точки, которыми он ограничен, ведь они тоже входят в отрезок.

1. Назовём концы отрезка AB: это точки A и B.
2. По определению каждый конец принадлежит своему отрезку, значит, A и B принадлежат AB.
3. Точки C и D отмечены на отрезке AB, поэтому обе также ему принадлежат.

Ответ: отрезку AB принадлежат все четыре точки: A, B, C и D. При проверке мы учли и концы, и точки между ними. Если бы точка стояла за пределами отрезка, она не принадлежала бы ему.

Задача 2. Начертите отрезки AB и CD так, чтобы у них была ровно одна общая точка, не являющаяся концом. Требуется получить пересечение внутри обоих отрезков. Поэтому нельзя расположить точку встречи на краю хотя бы одного из них.

1. Начертите отрезок AB, а затем отрезок CD так, чтобы они пересекались крест-накрест.
2. Поставьте точку K в месте пересечения и расположите её внутри AB и внутри CD, не на их концах.
3. Проверьте, что отрезки не накладываются на другом участке: тогда общая точка будет только одна.

Ответ: точка K — единственная общая точка отрезков AB и CD. Она не является концом ни одного из них. При таком построении пересекаются сами отрезки, а не только прямые, на которых они лежат.

Задача 3. Начертите два различных отрезка на одной прямой так, чтобы у них было несколько общих точек, и укажите все общие точки. Чтобы общих точек получилось больше одной, отрезки должны частично накладываться. Например, на одной прямой расположите точки в порядке A, C, B, D.

1. Начертите отрезок AB, а на той же прямой — отрезок CD, расположив точки по порядку A, C, B, D.
2. Первый отрезок занимает участок от A до B, второй — от C до D. Их общая часть расположена от C до B.
3. Укажите общий отрезок CB: все его точки принадлежат и AB, и CD.

Ответ: общая часть — отрезок CB, поэтому общих точек несколько. К ним относятся C, B и все точки между ними. Отрезки различны, потому что их концы не совпадают попарно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что концы не принадлежат отрезку. Так думают, если представляют отрезок только как промежуток между концами. Но он включает обе точки, которыми ограничен. Проверь себя: спроси, входит ли крайняя точка в ту часть прямой, которую называют отрезком; ответ — да.

Ошибка: назвать пересечением точку, лежащую только на одном отрезке. Это происходит, когда смотрят лишь на один объект или на пересечение линий в целом. Общая точка обязана принадлежать обоим отрезкам сразу. Проверь положение точки отдельно относительно каждого отрезка.

Ошибка: считать, что у двух отрезков бывает не больше одной общей точки. Такое правило подходит для пересечения отрезков на разных прямых, но не для частичного наложения на одной прямой. При наложении общей становится целая часть отрезков. Проверь, не лежат ли они на одной прямой и не перекрывают ли друг друга.

Ошибка: путать пересечение отрезков с пересечением прямых. Прямые могут встретиться за концами отрезков, поэтому их пересечение ещё не означает, что пересеклись отрезки. Ошибку допускают, когда продолжают отрезки мысленно и не учитывают их границы. Проверь, находится ли точка встречи внутри обоих отрезков или совпадает с их концами.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое точка, прямая и отрезок, а также уметь обозначать их буквами. Эти знания помогают читать условия и понимать, какие именно части чертежа сравниваются. Понятие общих точек пригодится при построении геометрических фигур и разборе чертежей. Оно также помогает изучать пересечение прямых и отрезков и замечать разницу между ними.

Что запомнить

• Отрезок включает оба своих конца.
• Точка может принадлежать отрезку или не принадлежать ему.
• Общая точка отрезков принадлежит каждому из них.
• Отрезки могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку или несколько.
• Пересечение прямых не всегда является пересечением самих отрезков.