3.1. Понятие отрезка

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками и содержащая все точки прямой между ними. Можно представить прямую как бесконечную линию, а отрезок — как её часть с чёткими границами. Это понятие помогает точно описывать расстояния и стороны геометрических фигур.

Концы отрезка — две точки, которые его ограничивают; обе точки принадлежат отрезку. Например, если отрезок начинается в точке A и заканчивается в точке B, то A и B — его концы. Названия концов нужны, чтобы отличать один отрезок от другого и обозначать его на чертеже.

Длина отрезка — расстояние между его концами, измеренное выбранной единицей длины. Например, длину можно выразить в миллиметрах, сантиметрах или метрах. Она нужна, чтобы сравнивать отрезки и находить расстояния на чертеже или в задаче.

Как это устроено

Чтобы получить отрезок, на прямой отмечают две точки и берут часть прямой между ними вместе с самими точками. Если оставить только промежуток, не включая отмеченные точки, получится не весь отрезок. Две точки нужны как границы: они показывают, где отрезок начинается и где заканчивается. Поэтому отрезок не продолжается за свои концы, как прямая.

Две точки на одной прямой задают один отрезок: они становятся его концами, а точки между ними составляют его остальную часть. Между концами может находиться много других точек, но все они лежат на одном и том же отрезке. Выбор именно этих двух точек определяет границы части прямой. Если поменять их местами, сам отрезок не изменится.

Отрезок обозначают двумя заглавными буквами, называя его концы: например, отрезок AB. Буквы помогают сослаться на конкретную часть чертежа, не описывая её словами каждый раз. Порядок букв можно менять: обозначения AB и BA относятся к одному отрезку. Это верно потому, что расстояние между двумя точками одинаково, с какой бы точки ни начинали его отсчитывать.

Длину отрезка находят измерением линейкой или по известным длинам его частей. При измерении важно поставить нулевую отметку линейки у одного конца, иначе показание шкалы не будет длиной отрезка. Если известны длины частей, линейка не нужна: можно использовать эти числа. Все длины при этом выражают в одинаковых единицах, например в сантиметрах.

Если точка лежит между концами отрезка, она делит его на две части. Длина целого отрезка равна сумме длин этих частей, потому что части вместе составляют его полностью и не перекрывают друг друга. Например, для точки C между A и B получаем равенство AB = AC + CB. Это правило помогает находить неизвестную длину, когда известны длины частей.

Основные сведения об отрезке

Сначала найди в таблице нужное понятие, а затем сверь его описание с примером. Если в задаче говорится о точке между концами, используй последнюю строку и сложи длины частей. Для измерения линейкой обратись к строке о длине отрезка.

Разбор задач

Задача 1. Назовите концы отрезка MN и запишите его обозначение. Буквы в названии подсказывают, какие именно точки отмечены на рисунке или названы в условии. Нужно взять обе буквы — по одной для каждого конца. Порядок записи можно выбрать любой.

1. Находим две заглавные буквы в названии MN: это M и N.
2. Называем точки M и N концами данного отрезка.
3. Записываем название двумя буквами: отрезок MN; допустимо также написать отрезок NM.

Ответ: концы — M и N; обозначение — MN или NM.

Задача 2. Измерьте отрезок AB линейкой и укажите его длину в сантиметрах. Чтобы измерение было верным, начало шкалы должно совпасть с одним концом отрезка. Тогда отметка у второго конца покажет, сколько сантиметров между концами, а не расстояние от случайного места на линейке.

1. Положите линейку вдоль отрезка AB так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой A.
2. Проверьте, что линейка лежит прямо вдоль отрезка, и найдите отметку напротив точки B.
3. Запишите показание в сантиметрах как длину AB. Если B, например, находится напротив отметки 6 см, то AB = 6 см.

Ответ: длина AB равна числу сантиметров, которое показывает отметка у второго конца; в приведённом примере — 6 см.

Задача 3. Точка C лежит между точками A и B. AC = 4 см, CB = 7 см. Найдите длину AB. Поскольку C находится внутри отрезка AB, части AC и CB вместе составляют весь отрезок. Значит, нужно сложить данные длины, а не искать разность между ними.

1. Записываем правило для точки между концами: AB = AC + CB.
2. Подставляем известные длины: AB = 4 см + 7 см.
3. Складываем числа и сохраняем единицу измерения: AB = 11 см.

Ответ: AB = 11 см.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что концы не входят в отрезок, потому что называют их его границами. Но по определению отрезок содержит и сами граничные точки. Проверь себя: если назвать отрезок AB, точки A и B должны принадлежать ему.

Прямую или луч иногда называют отрезком, если на рисунке они выглядят как короткие линии. Однако прямая не имеет концов, а луч ограничен только с одной стороны, тогда как отрезок имеет два конца. Проверь, можно ли указать обе точки, за которыми он не продолжается. Если нельзя, перед тобой не отрезок.

При измерении линейкой можно приложить к концу не нулевую отметку и принять число у другого конца за длину. В таком случае показание включает лишнее расстояние от начала шкалы до первого конца. Совмести ноль с концом отрезка; если это невозможно, вычти показание у первого конца из показания у второго.

Если точка лежит между концами целого отрезка, иногда вычитают длины частей вместо сложения. Так получают не длину всего пути от одного конца до другого, а разницу между длинами частей. Проверь себя: части вместе должны составлять целый отрезок, поэтому их длины складываются.

Связь с другими темами

Чтобы изучать отрезки, нужно знать, что такое точка и прямая, а также уметь пользоваться линейкой. Точка задаёт конец, прямая помогает представить отрезок, а линейка позволяет измерить его длину. Позже отрезки понадобятся при изучении ломаных и геометрических фигур: из них складываются стороны фигур. Умение находить длины также пригодится при вычислении периметра и решении задач на расстояния.

Что запомнить

• Отрезок ограничен двумя точками.
• Концы отрезка принадлежат ему.
• Отрезок обозначают двумя заглавными буквами.
• Длину отрезка измеряют линейкой в единицах длины.
• Длина отрезка не зависит от порядка букв в его обозначении.
• Если точка делит отрезок на части, длина целого равна сумме длин частей.