4.3. Веселые минутки на уроках геометрии: пентамино и рисунки из отрезков

Определения и обозначения

Пентамино — плоская фигура из пяти одинаковых квадратов, соединённых сторонами. У соседних квадратов одна сторона общая, словно они стоят бок о бок. Если квадраты касаются только углами, общей стороны у них нет, поэтому такое соединение не подходит. Это определение помогает проверять, действительно ли перед нами пентамино.

Пентамино-пазл — задача, в которой из заданных пентамино составляют фигуру или покрывают ими заданную область. Детали должны лечь так, чтобы не заходить одна на другую и не оставлять пустых клеток внутри области. Такую задачу решают, подбирая положение деталей, а не меняя их форму. Это помогает рассуждать о том, как части составляют целое.

Рисунок из отрезков — изображение, составленное из прямых отрезков. У каждого отрезка есть два конца, а в местах соединения концов образуются вершины. Несколько отрезков могут вместе образовать контур рисунка. Понятие нужно, чтобы точно выполнять геометрические построения по условию.

Преобразование фигуры — поворот или отражение пентамино, меняющие его положение, но не форму и размер. При повороте деталь вращают, а при отражении получают её зеркальное изображение. Квадраты при этом остаются на прежних расстояниях и не исчезают. Это понятие помогает понять, когда два изображения показывают одну и ту же форму.

Как это устроено

Чтобы получить пентамино, начни с одного квадрата и добавляй к нему ещё четыре. Каждый новый квадрат должен приклеиваться к уже построенной фигуре целой стороной. Если приложить его только углом, фигура не станет одним непрерывным соединением по сторонам. Поэтому после добавления каждого квадрата проверь, что у него есть хотя бы одна общая сторона с остальными.

Пять квадратов можно соединить разными способами, поэтому получаются разные формы. Например, квадраты можно выстроить в ряд или добавить некоторые сбоку. Но изображение, которое кажется новым, может оказаться прежним, только повёрнутым или отражённым. Мысленно поверни одну фигуру или представь её зеркальное отражение и сравни расположение квадратов; если их можно совместить, форма не новая.

В пентамино-пазле детали перемещают по области и при необходимости поворачивают. Целостность деталей сохраняют: их нельзя разрезать, потому что тогда меняется условие задачи. Наложение недопустимо — одна клетка не может быть занята сразу двумя квадратами. Пустоты внутри заданного контура тоже нельзя оставлять, ведь цель состоит в полном покрытии области.

Рисунок из отрезков начинают строить по условию: отмечают точки, которые будут концами, и проводят между ними отрезки нужной длины и направления. Если несколько отрезков должны встретиться в одной вершине, их концы должны попасть точно в одну точку. Иначе вместо одной вершины возникнут отдельные точки, а контур разорвётся. Аккуратная разметка помогает сохранить заданную форму рисунка.

Готовую головоломку проверяют не только на глаз. В задаче с клетками пересчитай квадраты у деталей и клетки области, затем проверь, что нигде нет наложения или пустоты. В рисунке из отрезков пересчитай отрезки и сравни их длины, направления и соединения с условием. Такая проверка помогает найти ошибку, даже если общий вид кажется правильным.

Из чего состоит геометрическая головоломка и что проверять

Сначала найди в таблице объект, который строишь, затем посмотри, из каких частей он состоит. Последний столбец подсказывает, что проверить перед ответом. Например, для пентамино важно проверить соединение квадратов, а для рисунка — длины и общие вершины.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить фигуру из пяти квадратов, соединённых сторонами, и объяснить, почему она является пентамино.

Нарисуем четыре квадрата в ряд, а пятый присоединим стороной к одному из средних квадратов. Теперь проверим, что все части подходят под определение, а не просто выглядят как одна фигура.

1. Посчитаем квадраты: их ровно пять.
2. Убедимся, что квадраты одинакового размера.
3. Проверим соединения: каждый квадрат можно связать с остальными через общие стороны, касаний только углами нет.

Ответ: полученная фигура является пентамино, потому что состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых сторонами.

Задача 2. Определить, совпадают ли два изображения пентамино, если одно получено из другого поворотом или отражением.

Сравнивать рисунки только по направлению неудобно: одна и та же деталь может быть изображена в другом положении. Нужно проверить, можно ли совместить квадраты двух фигур без изменения их размеров и связей.

1. Выбери одну фигуру и мысленно поверни её так, чтобы расположение квадратов стало похоже на другое изображение.
2. Если совместить не удалось, представь зеркальное отражение первой фигуры.
3. Сравни все квадраты и их соседей: каждый должен совпасть с квадратом другой фигуры, а стороны соединения должны быть такими же.

Ответ: если после поворота или отражения квадраты совпали, это одна форма пентамино; если не совпали, формы разные.

Задача 3. Составить из заданных пентамино прямоугольник, используя каждую деталь один раз, и проверить результат.

Здесь недостаточно получить прямоугольный внешний контур: внутри него не должно быть пустых клеток. Сначала полезно узнать, сколько клеток нужно покрыть, а затем подбирать положения деталей.

1. Посчитай клетки прямоугольника и сравни их с общим числом квадратов во всех пентамино: у каждой детали пять клеток.
2. Разложи детали внутри контура, поворачивая их и перемещая, но не разрезая и не накладывая.
3. Проверь каждую клетку прямоугольника: она должна быть занята ровно один раз. Затем пересчитай детали и убедись, что использована каждая.

Ответ: решение верно, если все заданные детали использованы по одному разу, а прямоугольник заполнен без наложений и пустых клеток.

Типичные ошибки

Ошибка: считать пентамино фигуру, где квадраты соприкасаются только вершинами. Так можно ошибиться, если смотреть лишь на то, что квадраты находятся рядом. По определению они должны иметь общую сторону, поэтому проверь каждую пару соседних квадратов. Если они касаются только углами, такое соединение не подходит.

Ошибка: принимать повёрнутую или отражённую копию за новую форму. Разное направление рисунка легко принять за отличие, особенно если не сравнить все квадраты. Попробуй повернуть или отразить одну фигуру и совместить её с другой. Если квадраты совпали, новой формы нет.

Ошибка: оставлять промежутки или накладывать детали при сборке. Иногда контур кажется заполненным, хотя внутри осталась пустая клетка или одна клетка занята двумя деталями. Проверяй область по клеткам: каждая должна быть закрыта ровно один раз. Пересчёт клеток помогает заметить и пустоты, и наложения.

Ошибка: неточно соединять отрезки или менять их длину. Это случается, если рисовать без отметок или торопиться. В результате концы могут не встретиться в нужной вершине, а форма и размеры рисунка изменятся. Сверь длины с условием и проверь, что требуемые концы попали в одни и те же точки.

Связь с другими темами

Чтобы решать задачи с пентамино, нужно узнавать квадрат, различать его сторону и вершину, считать клетки и понимать разницу между касанием стороной и углом. Это умения, которые помогают точно описывать фигуры. Работа с пентамино развивает представление о площади и разбиении целого на части. Рисунки из отрезков подготавливают к изучению ломаных, многоугольников и геометрических построений.

Что запомнить

• Пентамино состоит ровно из пяти одинаковых квадратов.
• Квадраты пентамино соединены сторонами.
• Поворот и отражение меняют положение фигуры, но не её форму.
• При сборке детали нельзя накладывать друг на друга.
• В задаче на покрытие нужно заполнить заданную область без промежутков.
• В рисунке из отрезков важно точно соблюдать их длины и соединения.