"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Координатный луч помогает показать числа на рисунке и увидеть, где они расположены относительно друг друга. Для этого на обычном луче отмечают начало отсчёта, выбирают единичный отрезок и направление возрастания чисел. Каждой точке соответствует координата, а чем правее точка, тем больше её координата. Чтобы отметить дробное число, единичный отрезок делят на равные части.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатный луч — луч, на котором выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Обычный луч сам по себе сообщает только, где его начало и куда он продолжается, но не задаёт чисел точек. На координатном луче положение каждой точки можно выразить числом. Благодаря этому луч подходит для изображения и сравнения чисел.
Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. Обычно её обозначают буквой O и ставят в начале луча. От неё начинают откладывать единичные отрезки и их части. Без начала отсчёта нельзя определить, откуда измерять положение остальных точек.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за одну единицу измерения на луче. Его откладывают от начала отсчёта, чтобы отметить число 1, а затем повторяют для других целых чисел. Эта длина задаёт масштаб: если единичный отрезок увеличить, точки чисел на рисунке отодвинутся дальше друг от друга. Поэтому важно не менять выбранную длину в пределах одного луча.
Координата точки — число, показывающее положение точки на координатном луче относительно начала отсчёта и единичного отрезка. Координату записывают рядом с названием точки в скобках: например, A(3). Она сообщает, сколько единиц или частей единицы нужно отложить от нуля, чтобы попасть в эту точку. Координаты позволяют точно указывать положение без описания на словах.
Чтобы получить координатный луч, сначала проводят обычный луч и отмечают его начало. Затем выбирают единичный отрезок и откладывают его от начала в сторону, куда будут возрастать числа. Это нужно, чтобы у всех точек были понятные и согласованные координаты: без масштаба расстояния ничего не говорят о числах, а без направления непонятно, в какую сторону числа увеличиваются. Началу луча присваивают координату 0.
Целые числа отмечают, откладывая единичный отрезок подряд. Конец первого такого отрезка получает координату 1, следующего — 2, потом 3 и так далее. Деления должны быть одинаковой длины, потому что каждый шаг соответствует одной и той же единице. Считать следует промежутки от нуля, а не только видимые отметки: первая отметка после начала — это 1, а не 0.
Точка может находиться между соседними целыми числами, например между 2 и 3. Чтобы определить её координату, единичный отрезок делят на несколько равных частей. Так каждая часть получает известное значение: при делении на 10 одна часть составляет 0,1, а при делении на 4 — четверть единицы. От числа 2 нужно отсчитать соответствующее количество частей, чтобы записать координату точки.
Чтобы отметить точку по заданной координате, начинают от нуля и движутся в положительном направлении. Для целого числа откладывают столько единичных отрезков, сколько показывает число; для дробного — нужные части единицы. Например, координата 3 означает три единичных шага от начала, а 3,5 — три единицы и ещё половину единицы. Такой способ позволяет восстановить точку по числу, даже если её ещё нет на рисунке.
На обычном рисунке положительное направление направлено вправо, поэтому координаты точек увеличиваются слева направо. Точка, расположенная правее другой, находится дальше от нуля и имеет большую координату. Это помогает сравнивать числа: достаточно увидеть, какая из соответствующих им точек стоит правее. Если числа десятичные, их можно сравнить и по разрядам, а луч показывает тот же результат наглядно.
| Элемент | Как задаётся | Что показывает |
|---|---|---|
| Начало отсчёта | Выбирают точку на луче и обозначают её координатой 0 | Откуда начинают отсчитывать координаты |
| Единичный отрезок | Выбирают отрезок определённой длины | Какое расстояние на луче соответствует одной единице |
| Положительное направление | Выбирают направление от начала луча | В какую сторону координаты возрастают |
| Координата точки | Определяют по расстоянию от начала и выбранному масштабу | Положение точки на луче |
Пользуйся таблицей, когда нужно проверить, все ли элементы координатного луча заданы. Сначала найди начало и направление, затем определи единичный отрезок. После этого положение любой точки можно выразить координатой.
На луче начало отсчёта обозначено O, а единичный отрезок равен 1 см. Нужно отметить точки A(3) и B(5). Координаты показывают, сколько единичных отрезков нужно отложить от O в положительном направлении. Поэтому для каждой точки отсчёт начинаем заново от начала луча.
Обе точки расположены в положительном направлении от O, причём B находится дальше, потому что 5 больше 3. Если размечать луч сантиметровой линейкой, отметки 3 и 5 окажутся соответственно на расстояниях 3 см и 5 см от начала. Важно не откладывать пять единиц от точки A: координата отсчитывается от начала луча. Ответ: A отмечают на расстоянии 3 см от O, B — на расстоянии 5 см от O.
Единичный отрезок разделён на 4 равные части. Точка C расположена на третьем делении после числа 2. Требуется найти её координату. Сначала выясним значение одного деления, а затем прибавим три таких шага к координате 2.
Проверка: четвёртое деление после 2 привело бы к числу 3, потому что четыре четверти составляют целую единицу. Третье деление должно быть ближе к 3, но не достигать его. Ответ: координата C равна 2,75.
Точки M и N имеют координаты 2,6 и 2,35. Нужно выяснить, какая точка расположена правее, и определить расстояние между точками. Удобно записать числа с одинаковым количеством цифр после запятой: 2,6 = 2,60. Теперь можно сравнить сотые доли и найти разность координат.
На координатном луче порядок подтверждается расположением точек: большая координата находится правее. Расстояние измеряется в единицах выбранного масштаба, а не обязательно в сантиметрах. Ответ: правее точка M; расстояние между M и N равно 0,25 единицы.
Ошибка: называют координатным любой луч с числами возле отметок, хотя единичный отрезок не выбран. Тогда неизвестно, какому расстоянию соответствует шаг от одного числа к следующему, и масштаб можно понять по-разному. Эту ошибку допускают, если смотрят только на подписи. Проверь себя: на луче должна быть указана или ясно выбрана длина единицы.
Ошибка: откладывают единичный отрезок против выбранного направления возрастания чисел. В таком случае отметка 1 оказывается не с той стороны от нуля, где должны располагаться положительные числа. Это случается, когда забывают сначала определить направление. Проверь стрелку или условное обозначение положительного направления и двигайся от 0 к 1 именно туда.
Ошибка: считают отметки вместо промежутков между ними. Например, если принять начало за первую отметку, конец третьего шага можно ошибочно назвать числом 2 или 4. Такое происходит потому, что на рисунке заметнее сами штрихи, а единица задаётся расстоянием между соседними отметками. Проверь себя: от нуля до числа 3 должны быть три единичных промежутка.
Ошибка: сравнивают десятичные числа только по количеству цифр после запятой или принимают большее число знаков за большее число. Например, 2,6 больше 2,35, хотя цифр после запятой у 2,6 меньше. Для проверки допиши ноль: 2,6 = 2,60, затем сравни разряды слева направо. Сначала сравнивают целые части, потом десятые, сотые и следующие разряды.
Перед изучением координатного луча нужно знать, что такое луч и отрезок, уметь считать натуральные числа и измерять длину. Эти знания нужны, чтобы понять, где начинается луч и как откладывать одинаковые единицы. Единицы длины помогают выбрать и сохранить масштаб.
Координатный луч пригодится при сравнении чисел: положение точек сразу показывает, какое число больше. Он также помогает изображать обыкновенные и десятичные дроби, если разделить единичный отрезок на равные части. Так числовые записи связываются с наглядным изображением.
Позже координатную прямую используют для изображения отрицательных чисел: в отличие от луча, она продолжается в обе стороны от начала отсчёта. Представление о координатах помогает находить положение точек и решать задачи на координаты. Поэтому умение читать координатный луч служит основой для дальнейших тем.
Чем координатный луч отличается от обычного луча?
Обычный луч — это часть прямой с началом, которая продолжается в одну сторону. Чтобы он стал координатным, нужно выбрать начало отсчёта, единичный отрезок и направление, в котором числа будут возрастать. Тогда точкам луча можно сопоставить числа.
Обязательно ли единичный отрезок должен быть равен одному сантиметру?
Нет, его длину выбирают сами в зависимости от задачи и рисунка. Например, единицей может быть отрезок длиной 1 см, 2 см или даже 1 клетка. Главное — использовать один и тот же размер для всех единиц на данном луче.
Как отметить на луче точку с дробной координатой?
Раздели единичный отрезок на столько равных частей, сколько частей указано в знаменателе дроби. Затем отсчитай нужное число таких частей от начала отсчёта или от ближайшего целого числа. Например, для координаты 2,75 единичный отрезок делят на 4 части и откладывают 3 части после числа 2.
Почему координаты увеличиваются слева направо?
На координатном луче направление вправо выбирают положительным направлением. При движении в эту сторону расстояние от начала отсчёта увеличивается, поэтому увеличиваются и координаты. Если луч нарисован иначе, положительное направление всё равно отмечают отдельно.
Как сравнить два числа с помощью координатного луча?
Найди на луче точки, которым соответствуют эти числа. Число, изображённое правее, больше, а число левее — меньше. Расстояние между точками можно найти как разность большей и меньшей координат.
4.4. Координатный луч
