§ 5. Окружность и круг. Конструкции и виды

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра. Если центр обозначен O, а точка окружности — A, отрезок OA показывает расстояние от центра до линии. Это определение помогает отличать окружность от других замкнутых линий, например овала.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Представь обведённый карандашом контур: линия контура — окружность, а закрашенная область внутри неё — круг. Различие нужно, чтобы точно описывать, говорим ли мы только о границе фигуры или обо всей области.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; радиусом также называют его длину. Например, OA — радиус, а его длина может быть 3 см. Радиус нужен для построения окружности и помогает задавать её размер.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше радиуса. Это соотношение позволяет найти диаметр, если известен радиус, и наоборот.

Как это устроено

Чтобы построить окружность циркулем, сначала отметь точку-центр и выбери длину радиуса. Расстояние между иглой и карандашом циркуля выставь по линейке: оно будет задавать, насколько далеко линия проходит от центра. Поставь иглу в центр и поверни циркуль вокруг неё, не меняя раствора. Если расстояние от иглы до карандаша всё время остаётся одинаковым, каждая точка линии будет на нужном расстоянии от центра.

У одной окружности все радиусы равны, потому что каждый из них начинается в одном центре и заканчивается на окружности. По определению окружности все её точки равноудалены от центра. Значит, отрезки от центра до любых точек этой линии имеют одну и ту же длину. Поэтому можно провести много радиусов, но длина каждого будет одинаковой.

Окружность и круг связаны, но обозначают разные объекты. Окружность — это граница, а круг включает и границу, и все точки внутри неё. Например, если обвести круглую крышку, получится линия-окружность; если рассматривать всю поверхность крышки, это будет круг. Такое различие особенно полезно в задачах, где нужно определить, какие именно точки принадлежат фигуре.

Диаметр проходит через центр, поэтому делится центром на две части. Каждая часть — радиус, соединяющий центр с одной из двух точек окружности. Части равны, поскольку обе являются радиусами одной окружности. Поэтому длина диаметра равна двум радиусам: если радиус равен 3 см, диаметр равен 6 см.

Окружности сравнивают по радиусу и по расположению центров. Если радиусы равны, окружности равны; если радиусы различаются, различается и их размер. У двух окружностей может быть общий центр, но разные радиусы: одна будет расположена внутри другой. Такие окружности называют концентрическими, потому что их центры совпадают.

Окружность и круг: что обозначают и как связаны

Сравнивай сначала, идёт ли речь о линии или об области внутри неё. Если рассматриваются только точки на границе, это окружность; если ещё и внутренние точки — круг. На чертеже закрашенная область обычно помогает увидеть круг, но смысл фигуры всё равно определяется условием задачи.

Разбор задач

Задача 1. Постройте окружность с центром O и радиусом 3 см. Сначала нужно перенести заданную длину на циркуль: именно раствор циркуля будет равен радиусу. Затем игла должна оставаться в центре, чтобы расстояние от неё до каждой точки линии не изменялось.

1. Отметьте точку O и приложите линейку так, чтобы измерить 3 см.
2. Раздвиньте ножки циркуля на 3 см, совместив иглу и карандаш с отметками линейки.
3. Поставьте иглу в O и поверните циркуль, не меняя раствора, пока линия не замкнётся.

Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см. Проверьте построение: расстояние от O до линии должно быть одинаковым в любом направлении. Если раствор циркуля не менялся, это условие выполнено.

Задача 2. Начертите отрезок AB длиной 6 см и постройте окружность, для которой AB — диаметр. Центр такой окружности должен лежать посередине диаметра, потому что диаметр делится центром на два равных радиуса. Значит, сначала найдём середину AB, а затем зададим циркулем расстояние от неё до A или B.

1. Проведите отрезок AB длиной 6 см.
2. Отмерьте от A половину длины отрезка: 6 : 2 = 3 см. Отметьте полученную точку O — середину AB.
3. Установите раствор циркуля 3 см, поставьте иглу в O и проведите окружность через A и B.

Ответ: центр окружности O — середина AB, радиус равен 3 см. Проверка: AB проходит через центр, а его длина 6 см равна двум радиусам по 3 см. Значит, AB действительно является диаметром построенной окружности.

Задача 3. Постройте две окружности с общим центром O и радиусами 2 см и 4 см. Поскольку центр у них один, его нужно отметить только в одном месте. Размер каждой окружности задаётся своим радиусом, поэтому раствор циркуля придётся выставить дважды.

1. Отметьте центр O и выставьте раствор циркуля 2 см по линейке.
2. Поставьте иглу в O и проведите первую окружность, сохраняя раствор.
3. Измените раствор на 4 см и, не перемещая центр, проведите вторую окружность.

Ответ: получились концентрические окружности с общим центром O и разными радиусами 2 см и 4 см. Меньшая окружность расположена внутри большей. Убедиться в правильности построения можно, проверив, что игла циркуля оба раза стояла в точке O.

Типичные ошибки

Иногда круг называют окружностью или наоборот. Так происходит потому, что в обычной речи круглую фигуру часто называют одним словом, не различая линию и область. Проверь себя: если в описании есть только граница, это окружность; если включены точки внутри неё, это круг.

Некоторые считают радиусом только его длину, хотя радиусом называют и сам отрезок от центра до окружности, и его длину. Путаница возникает из-за того, что в задаче могут спрашивать то отрезок, то число с единицами измерения. Проверь, что именно требуется: показать радиус на чертеже или назвать, например, его длину в сантиметрах.

Не каждый отрезок между двумя точками окружности является диаметром: он должен проходить через центр. Ошибка появляется, когда ориентируются только на то, что оба конца лежат на окружности. Чтобы проверить отрезок, отметь центр: если он не лежит на отрезке, этот отрезок не диаметр.

Если во время построения менять раствор циркуля, расстояние от центра до карандаша будет становиться разным. Тогда карандаш не проведёт линию, все точки которой равноудалены от центра. Проверяй себя во время черчения: игла остаётся в центре, а расстояние между ножками не меняется до завершения окружности.

Связь с другими темами

Для построения окружностей нужно уметь измерять и откладывать отрезки, пользоваться линейкой и циркулем. Эти навыки помогают точно задавать радиус и находить середину диаметра. Позже радиус и диаметр понадобятся при изучении длины окружности и площади круга. Построения окружностей встречаются в чертежах и геометрических задачах, а общие центры и одинаковые расстояния помогают разбираться с симметрией.

Что запомнить

• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Круг состоит из окружности и всех точек внутри неё.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
• Концентрические окружности имеют общий центр.
• Для построения окружности циркулем раствор циркуля задаёт радиус.