5.1. Окружность и ее элементы. Круг

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром, а одинаковое расстояние — радиусом. Окружность удобно узнавать по постоянному расстоянию от центра: именно оно задаёт её форму и размер.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, включая саму окружность. Если окружность — только линия, то круг содержит и эту линию, и всё, что находится внутри неё. Различать их нужно, чтобы точно говорить о границе фигуры или о всей заполненной области.

Центр окружности — точка, от которой до всех точек окружности одно и то же расстояние. Его обычно обозначают заглавной буквой, например O. Радиус — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности; на рисунке его концы могут быть обозначены O и A, а сам отрезок — OA.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр можно обозначить, например, CD, если C и D лежат на окружности, а отрезок CD проходит через O. Он состоит из двух радиусов, поэтому его длина в два раза больше длины радиуса.

Как это устроено

Представь, что конец нитки закреплён в точке, а другой конец движется, не меняя расстояния до неё. Движущийся конец оставляет след — окружность. Постоянное расстояние сохраняется потому, что длина нитки не меняется, а закреплённая точка становится центром. Так же циркулем проводят окружность: игла остаётся на месте, а карандаш движется на одном расстоянии от неё.

Окружность сама по себе ничего не говорит о том, что находится внутри: это только линия-граница. Кругом называют область, которую эта линия ограничивает, и саму границу тоже включают в круг. Поэтому точка на линии принадлежит и окружности, и кругу, а точка строго внутри принадлежит кругу, но не окружности. Это различие похоже на границу и всю территорию внутри неё.

Любая точка окружности находится от центра на одном и том же расстоянии — иначе она не лежала бы на этой окружности. Отрезок от центра до такой точки и есть радиус, поэтому все радиусы одной окружности равны. Чем больше радиус, тем дальше от центра расположена окружность и тем крупнее круг. Значит, зная радиус, можно описать размер окружности и построить её циркулем.

Диаметр проходит через центр, потому что это особая хорда, которая делит окружность на две части и проходит сквозь середину круга. От центра до каждого конца диаметра получается радиус. Поэтому диаметр складывается из двух равных радиусов: если радиус равен 4 см, диаметр равен 8 см. Обратно, чтобы найти радиус по диаметру, нужно разделить его длину на два.

Чтобы распознать элемент на чертеже, сначала найди точки, лежащие на окружности, и отметь центр. Отрезок от центра до окружности — радиус; отрезок между двумя точками окружности — хорда. Если такая хорда проходит через центр, она является диаметром. Отрезок внутри круга, который не соединяет центр с окружностью и не имеет обоих концов на окружности, не подходит ни под одно из этих определений.

Окружность, круг и их элементы

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала определи, где находятся концы отрезка, затем проверь, проходит ли он через центр. Чтобы отличить круг от окружности, спроси себя, имеется в виду только линия или также область внутри неё. Обозначения буквами могут меняться, поэтому ориентируйся прежде всего на определение и положение точек.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена окружность с центром O. Точка A лежит на окружности, а точка B — внутри круга. Назови отрезок, который является радиусом, и определи, к какой фигуре принадлежит точка B. Нужно проверить положение концов отрезка и не смешивать границу с внутренней областью.

1. Радиус начинается в центре и заканчивается на окружности. Здесь такими концами являются O и A, значит, радиус — отрезок OA.
2. Точка B находится внутри круга, но не на его границе. Поэтому B принадлежит кругу, однако не принадлежит окружности.

Ответ: радиус — OA; точка B принадлежит кругу, но не окружности. При проверке убедись, что A лежит именно на линии окружности, а не просто где-то внутри круга.

Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найди диаметр и определи, сколько радиусов содержится в диаметре. Сначала вспомним, что диаметр проходит через центр, а значит, разделяется им на два отрезка от центра до окружности. Каждый такой отрезок — радиус.

1. Запишем связь между величинами: диаметр равен двум радиусам, то есть d = 2r.
2. Подставим длину радиуса: d = 2 · 4 см = 8 см.
3. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому в нём содержится два радиуса.

Ответ: диаметр равен 8 см; он содержит два радиуса. Проверить вычисление можно обратным действием: половина диаметра 8 см равна 4 см, как и данное значение радиуса.

Задача 3. Отрезки AB и CD соединяют точки окружности. AB не проходит через центр O, а CD проходит через O. Определи, какой отрезок является хордой, а какой — диаметром. Оба отрезка имеют концы на окружности, поэтому нужно проверить дополнительное условие для диаметра.

1. По определению хорда соединяет две точки окружности. Следовательно, AB и CD оба являются хордами.
2. Диаметр — хорда, которая проходит через центр. Через O проходит CD, значит, именно CD является диаметром.
3. AB не проходит через центр, поэтому он остаётся хордой, но диаметром не является.

Ответ: AB — хорда, CD — диаметр. Называть CD только диаметром не ошибка, но полезно помнить: каждый диаметр также является хордой.

Типичные ошибки

• Называют круг окружностью, потому что в обычной речи слова иногда используют как похожие. Из-за этого неясно, имеется в виду линия или вся область внутри неё. Проверь себя: если речь только о границе, это окружность; если добавлена внутренняя область, это круг.

• Считают радиусом любой отрезок внутри круга. Такой отрезок может не начинаться в центре или не доходить до окружности, поэтому определению радиуса он не соответствует. Для проверки найди оба конца: один должен быть в центре, другой — на окружности.

• Путают диаметр с любой хордой, потому что оба отрезка соединяют точки окружности. Но хорда не обязана проходить через центр, а диаметр обязан. Проведи мысленно линию через центр: если отрезок её не пересекает в нужной точке, это не диаметр.

• Говорят, что диаметр равен одному радиусу или радиус в два раза больше диаметра. Ошибка возникает, если забыть, что центр делит диаметр на две части — два радиуса. Сверься с формулой d = 2r: диаметр вдвое больше радиуса, а радиус вдвое меньше диаметра.

Связь с другими темами

Чтобы работать с окружностью, нужно уметь различать точку, отрезок и прямую, а также измерять длины отрезков. Эти знания помогают правильно читать чертёж и находить длины радиуса или диаметра. Представления о центре и радиусе пригодятся при построениях циркулем и в задачах на расстояния и геометрические фигуры. Позже они помогут изучать длину окружности и площадь круга.

Что запомнить

• Окружность — линия, а круг — область внутри неё вместе с границей.
• Центр — точка, равноудалённая от всех точек окружности.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Диаметр проходит через центр и является хордой.
• Диаметр равен двум радиусам.
• Хорда соединяет две точки окружности.