§ 15. Измерение отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка: одна задаёт его начало, другая — конец. Благодаря концам отрезок имеет определённую длину, и её можно измерить.

Длина отрезка — величина, показывающая, сколько раз выбранная единица длины укладывается в отрезке. Например, если сантиметровая единица укладывается в отрезке пять раз, его длина равна 5 см. Длина нужна, чтобы сравнивать отрезки и находить расстояния.

Единица длины — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Единицами длины служат, например, сантиметр и миллиметр. Выбранная единица помогает сообщить результат так, чтобы другой человек понял, насколько длинен отрезок.

Измерение отрезка — сравнение его длины с выбранной единицей с помощью измерительного инструмента. Линейка помогает отложить единицу много раз и определить, сколько таких частей помещается между концами. Результат записывают числом и названием единицы, например 6 см.

Как это устроено

Перед измерением выбирают единицу длины, потому что число результата зависит от её размера. Один и тот же отрезок содержит больше миллиметров, чем сантиметров: миллиметр короче сантиметра. Поэтому без названия единицы число не сообщает точную длину, а при сравнении нужно учитывать, в каких единицах сделаны записи.

При измерении линейкой один её штрих совмещают с началом отрезка, а длину определяют по штриху у другого конца. Обычно за начало выбирают нулевой штрих: тогда шкала сразу показывает, сколько единиц помещается до второго конца. Линейку кладут вдоль отрезка, иначе показание не будет соответствовать расстоянию между его концами.

Иногда начало отрезка не удаётся поставить на ноль, например если край линейки повреждён или отрезок уже расположен на листе. Тогда считывают два показания: у начала и у конца отрезка. Из конечного показания вычитают начальное, потому что длина — это расстояние между отметками, а не расстояние от нуля до дальнего конца.

Длину можно записывать в сантиметрах, миллиметрах и других единицах. Перед сравнением или вычислением записи приводят к одной единице, иначе числа относятся к разным по размеру частям. Например, 4 см 5 мм удобно сравнить с 46 мм, если сначала представить первую длину как 45 мм.

Точность результата зависит от шкалы измерительного инструмента. Цена деления — это длина, которой соответствует промежуток между соседними штрихами; если на линейке есть миллиметровые штрихи, можно различать более мелкие части, чем по шкале только с сантиметровыми делениями. Однако результат всё равно может быть приблизительным, если конец попал между штрихами или линейка лежит неровно.

Единицы длины и соотношения между ними

В таблице перечислены единицы от более крупной к более мелкой. Чтобы перейти к соседней меньшей единице, умножают число на указанное количество; чтобы перейти к большей — делят. Например, 3 см = 30 мм.

Разбор задач

Задача 1. Один конец отрезка совпадает с нулём линейки, а другой — с делением 7 см. Нужно определить длину отрезка. Поскольку начало стоит на нуле, показание у второго конца сразу показывает, сколько сантиметров составляет отрезок.

1. Находим отметку, у которой расположен первый конец: это 0 см.
2. Смотрим на шкалу у второго конца: она показывает 7 см.
3. Так как начальное показание нулевое, вычитать ничего не нужно.

Ответ: длина отрезка равна 7 см. Для проверки можно убедиться, что линейка лежит вдоль отрезка и нулевой штрих действительно совпадает с его концом. Если бы линейка сдвинулась, отметка 7 см могла бы показать не длину отрезка.

Задача 2. Концы отрезка на линейке находятся у отметок 2 см и 8 см. Найдём длину. Здесь дальний конец показывает расстояние от нуля до отметки 8 см, но часть от 0 до 2 см не входит в отрезок, поэтому её нужно убрать.

1. Записываем показание у начала отрезка: 2 см.
2. Записываем показание у конца: 8 см.
3. Вычитаем начальное показание из конечного: 8 − 2 = 6 см.

Ответ: длина отрезка равна 6 см. Проверка помогает не перепутать длину с конечным показанием: от отметки 2 до отметки 8 ровно шесть промежутков по сантиметру. Если бы мы взяли 8 см, то посчитали бы и участок линейки до начала отрезка.

Задача 3. Один отрезок имеет длину 4 см 5 мм, другой — 46 мм. Определим, какой длиннее и на сколько. Сначала переведём обе длины в миллиметры: так числа будут относиться к одинаковым единицам. После этого можно сравнить числа и найти разность.

1. Переводим сантиметры в миллиметры: 4 см = 40 мм.
2. Прибавляем оставшиеся 5 мм: 40 мм + 5 мм = 45 мм.
3. Сравниваем 45 мм и 46 мм; находим разность: 46 − 45 = 1 мм.

Ответ: второй отрезок длиннее на 1 мм. Проверить сравнение можно, записав обе длины в миллиметрах: 45 мм меньше 46 мм. Если сравнивать записи 4 см 5 мм и 46 мм без перевода, легко ошибиться, потому что числа записаны по-разному.

Типичные ошибки

Ошибка: считать показание у дальнего конца длиной отрезка, хотя начало расположено не на нуле. Так делают, потому что шкала у конца выглядит как готовый ответ. Проверь себя: вычти показание у начала из показания у конца и сравни результат с расстоянием между отметками.

Ошибка: не совмещать начало отрезка с нулём и при этом не учитывать начальное показание шкалы. Это часто происходит, когда линейку прикладывают краем, не проверив положение нулевого штриха. Проверь оба конца: если отметки не 0 и нужное число, найди разность показаний.

Ошибка: сравнивать или складывать длины, записанные в разных единицах. Например, числа 4 и 46 сами по себе не говорят, какое значение больше, если первое записано в сантиметрах, а второе — в миллиметрах. Проверь, что все длины переведены в одну единицу, и только потом выполняй действие.

Ошибка: считать число делений на линейке длиной в сантиметрах. Причина — можно забыть, что промежутки между штрихами бывают разной величины и каждый соответствует своей единице. Проверь подписи шкалы и цену деления: например, десять промежутков по 1 мм составляют 1 см.

Связь с другими темами

Для измерения отрезков нужно знать, что такое отрезок и где находятся его концы. Также нужно уметь пользоваться линейкой: находить нулевой штрих, различать деления и считывать показания. Эти знания помогают получить правильный результат и проверить его.

Измерение отрезков пригодится при построении геометрических фигур: можно отложить заданную длину и соединить нужные точки. Оно также используется в задачах на периметр — сумму длин сторон фигуры. Если единицы у сторон разные, перед сложением их сначала приводят к одной единице.

Что запомнить

• Длину отрезка измеряют, сравнивая его с выбранной единицей длины.
• Начало отрезка обычно совмещают с нулём линейки.
• Если начало отрезка не у нуля, из конечного показания вычитают начальное.
• При сравнении длин их записывают в одинаковых единицах.
• 10 мм = 1 см.
• Точность измерения зависит от цены деления шкалы.