15.1. Что значит измерить отрезок?

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются концами отрезка. Например, если отметить на прямой точки A и B и взять часть между ними, получится отрезок AB. Концы показывают, где отрезок начинается и заканчивается, поэтому при измерении можно определить его границы.

Единичный отрезок — отрезок, который выбирают за единицу измерения. Его длину принимают за 1, например 1 см или 1 условную единицу. Такая договорённость нужна, чтобы сравнивать длины и выражать их числами.

Измерить отрезок — значит сравнить его с выбранным единичным отрезком и определить, сколько раз единица укладывается в нём. Например, можно проверить, сколько отрезков длиной 1 см помещается между концами данного отрезка. Так сравнение превращается в подсчёт.

Длина отрезка — число, показывающее, сколько единичных отрезков содержится в данном отрезке. Если единица длиной 1 см помещается пять раз, длина равна 5 см. Единицу измерения записывают рядом с числом, чтобы было понятно, какой именно мерой выражена длина.

Как это устроено

Перед измерением нужно выбрать единичный отрезок, потому что число получается при сравнении двух длин. Если взять короткую единицу, она поместится в отрезке много раз; если взять более длинную — меньше раз. Сам измеряемый отрезок при этом не меняется, меняется только способ выразить его длину числом.

Чтобы измерить отрезок, единичный отрезок последовательно откладывают от одного его конца. Каждое следующее откладывание должно продолжать предыдущее в том же направлении, иначе часть измеряемого отрезка можно пропустить или посчитать дважды. Между единицами не оставляют промежутков и не накладывают их друг на друга, потому что тогда они уже не покрывают отрезок точно.

Если единичный отрезок укладывается целое число раз, достаточно посчитать эти укладывания. Например, четыре одинаковых единицы от одного конца до другого означают длину 4 выбранные единицы. Число показывает, сколько одинаковых частей составляют весь отрезок, а название единицы уточняет, какими именно частями его измеряли.

Иногда единица не укладывается целое число раз: после нескольких полных укладываний остаётся часть отрезка. Тогда единичный отрезок делят на равные части, например на две или четыре, и сравнивают остаток с этими частями. Если остаток равен одной из двух равных частей единицы, его можно записать как ½ единицы; деление на равные части помогает точнее выразить длину.

Один и тот же отрезок может иметь разные числовые значения длины, если измерять его разными единицами. Например, большая единица укладывается меньшее число раз, чем маленькая, хотя расстояние между концами остаётся прежним. Поэтому число без единицы измерения неполно: запись длины должна сообщать и число, и меру.

Как измеряют отрезок

Пользуйся таблицей как порядком действий: сначала реши, какой единицей будешь измерять, и только потом начинай откладывать её. После подсчёта запиши результат вместе с названием единицы. Если единицы не укладываются целое число раз, отметь оставшуюся часть и вырази её дробью единицы.

Разбор задач

Задача 1

Единичный отрезок равен 1 см. Сколько сантиметров составляет отрезок, в котором он укладывается 6 раз? Здесь уже дана единица измерения, и известно число её укладываний. Нужно связать эти два числа и не забыть записать меру.

1. Единица измерения равна 1 см.
2. Она укладывается в данном отрезке 6 раз, значит, в нём содержатся шесть сантиметровых единиц.
3. Записываем число укладываний вместе с единицей: 6 см.

Ответ: 6 см.

Задача 2

Отрезок длиной 8 см измеряют единичным отрезком длиной 2 см. Какова длина этого отрезка в выбранных единицах? Здесь спрашивают не длину в сантиметрах, а число единиц по 2 см. Поэтому нужно выяснить, сколько таких частей составляют 8 см.

1. Известная длина отрезка — 8 см, длина одной выбранной единицы — 2 см.
2. Разделим длину отрезка на длину единицы: 8 : 2 = 4.
3. Проверим смысл результата: четыре отрезка по 2 см составляют 8 см.

Ответ: длина равна 4 выбранным единицам.

Задача 3

Отрезок измерили единичным отрезком длиной 3 см и получили 2 единицы. Какова длина отрезка в сантиметрах? Теперь известно, сколько раз уложилась выбранная единица, и нужно выразить общую длину сантиметрами. Для этого найдём, сколько сантиметров составляют две части по 3 см.

1. Длина одной единицы равна 3 см, таких единиц — 2.
2. Умножим длину единицы на число укладываний: 3 × 2 = 6.
3. Запишем результат с нужной единицей измерения — сантиметрами.

Ответ: 6 см.

Типичные ошибки

Записывают только число, например 6, не указывая единицу измерения. Так бывает, когда считают, что само число полностью описывает результат, но 6 сантиметров и 6 метров — разные длины. Проверь себя: спроси, в каких единицах выполнено измерение, и добавь их к числу.

На линейке считают штрихи, а не промежутки между ними. Ошибка возникает потому, что штрихи заметнее, однако длина определяется расстоянием между соседними отметками. Проверь себя на небольшом отрезке: от первого штриха до второго один единичный промежуток, а не два.

Прикладывают единицы с зазорами или накладывают одну на другую. В первом случае часть длины остаётся непокрытой, а во втором одна и та же часть учитывается дважды. Чтобы проверить измерение, следи, чтобы соседние единицы соприкасались концами и не перекрывались.

Считают, что числовое значение длины не меняется при смене единицы. Такое представление появляется, если помнить число, но забывать, что оно показывает количество выбранных мер. Проверь себя: чем длиннее единица, тем меньше таких единиц помещается в том же отрезке; сам отрезок при этом остаётся прежним.

Связь с другими темами

Перед измерением полезно уметь распознавать отрезок и его концы, сравнивать отрезки и откладывать один отрезок от заданной точки. Эти действия помогают правильно выбрать границы измерения и переносить единицу без сдвигов. Измерение понадобится при работе с линейкой и построении геометрических фигур: без него нельзя точно задать длину стороны. Оно также используется при нахождении периметра — общей длины границы фигуры.

Что запомнить

• Для измерения отрезка сначала выбирают единичный отрезок.
• Длина показывает, сколько выбранных единиц содержится в отрезке.
• Единицу нужно откладывать без промежутков и наложений.
• Числовое значение длины зависит от выбранной единицы.
• Длину записывают вместе с единицей измерения.