14.2. Как сделать модель многогранного угла

Определения и обозначения

Многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскими углами с общей вершиной. Эти плоские углы соединяются сторонами и вместе образуют объёмную фигуру, похожую на раскрывающийся в разные стороны угол. Понятие нужно, чтобы описывать не только плоские, но и пространственные формы.

Вершина многогранного угла — общая точка всех его плоских углов. В модели вершиной будет место, где соединены одни концы всех стержней. По этой точке легко проверить, что детали относятся к одному многогранному углу.

Ребро многогранного угла — луч, общий для двух соседних плоских углов. На модели его изображает отдельный стержень, выходящий из соединителя. Рёбра задают направления, в которых раскрывается пространственная фигура.

Грань многогранного угла — плоский угол, образованный двумя соседними рёбрами. Поэтому каждая грань начинается в общей вершине и находится между двумя стержнями. Грани сходятся в одной вершине, потому что все их образующие рёбра закреплены там.

Как это устроено

Для модели понадобятся несколько прямых стержней и соединитель. Стержни будут изображать рёбра, поэтому от их количества зависит, сколько направлений можно показать. Соединитель нужен для общей вершины: если просто положить стержни рядом, единой пространственной фигуры не получится.

Сначала закрепите один конец каждого стержня в одной точке соединителя. Другие концы направьте в разные стороны, чтобы они изображали разные лучи. Такое закрепление необходимо потому, что все рёбра многогранного угла начинаются в одной вершине, а разные направления помогают увидеть несколько плоских углов.

Между каждой парой соседних стержней возникает плоский угол — будущая грань. Соседними считают рёбра, которые идут рядом при обходе модели и между которыми видна одна часть угла. Нельзя автоматически считать соседними любые два стержня: сначала нужно посмотреть, какую область между ними показывает конструкция.

Стержни следует развести в пространстве, а не расположить все на одной плоскости. Если все они лежат на столе, получится плоская схема, и объёмный угол будет трудно распознать. Пространственное расположение показывает, что грани могут находиться в разных плоскостях, хотя все сходятся в одной вершине.

Проверяйте готовую модель по её частям. Сначала убедитесь, что каждый стержень одним концом соединён с общей точкой. Затем рассмотрите соседние пары стержней: каждая такая пара должна образовывать плоский угол, то есть грань.

Части модели многогранного угла и их обозначение

Таблица помогает переводить детали модели на язык геометрии. Если видите один стержень, это ребро, а если пару соседних стержней — грань. Проверяйте не только наличие пары, но и её общую точку соединения.

Разбор задач

Задача 1. Модель из трёх стержней

Условие. Сделайте простейшую модель многогранного угла из трёх стержней и общего соединителя. Назовите её вершину, рёбра и грани.

1. Закрепите по одному концу трёх стержней в соединителе. Место соединения обозначьте буквой O.
2. Назовите стержни OA, OB и OC: это три ребра модели.
3. Рассмотрите соседние пары OA и OB, OB и OC, OC и OA. Каждая пара образует плоский угол, поэтому даёт одну грань.

Ответ. Вершина — O, рёбра — OA, OB и OC, грани — углы AOB, BOC и COA. Здесь каждая грань имеет вершину O.

Задача 2. Четыре стержня в пространстве

Условие. Соберите модель из четырёх стержней так, чтобы они не лежали в одной плоскости, и покажите все грани.

1. Соедините одни концы стержней в точке O, а свободные концы направьте вверх, в стороны и вперёд.
2. Расположите стержни по кругу вокруг вершины и определите соседние пары: OA и OB, OB и OC, OC и OD, OD и OA.
3. Назовите углы между этими парами гранями. Не включайте в основной список пару рёбер, которая не является соседней в выбранном обходе.

Ответ. Получились четыре ребра OA, OB, OC и OD и четыре показанные грани: AOB, BOC, COD и DOA. Объём модели виден потому, что стержни направлены не в одной плоскости.

Задача 3. Пять стержней

Условие. По готовой модели с пятью стержнями определите число рёбер и граней, а затем объясните, почему все грани имеют общую вершину.

1. Посчитайте стержни, выходящие из соединителя. Каждый такой стержень изображает одно ребро, значит, рёбер пять.
2. Пройдите вокруг общей вершины и выпишите пары соседних стержней. При пяти рёбрах получится пять последовательных пар, если модель собрана по кругу.
3. Проверьте каждую пару: она должна начинаться в том же месте соединения. Поэтому все соответствующие плоские углы имеют одну общую вершину.

Ответ. В модели пять рёбер и пять соседних граней. Общая вершина у них одна, потому что один конец каждого стержня закреплён в одном соединителе.

Типичные ошибки

Все стержни лежат в одной плоскости. Такую конструкцию принимают за модель, потому что на ней видны углы, но пространственный объём исчезает. Разведите стержни в разные стороны и проверьте модель с нескольких направлений.

Концы не соединены в одной точке. Ошибка возникает, когда стержни просто раскладывают рядом. Убедитесь, что один конец каждого стержня входит в один соединитель.

Стержни называют гранями. Стержень изображает ребро, а грань образуется парой соседних рёбер. Для проверки найдите две детали, ограничивающие плоский угол.

Гранью считают любой угол между стержнями. Две детали могут не быть соседними в выбранном обходе модели. Проверьте, находится ли между ними именно одна часть многогранного угла и образуют ли они нужную плоскую область.

Связь с другими темами

Для понимания модели нужно знать, что такое луч, плоский угол, вершина и сторона угла. Эти понятия помогают правильно назвать части пространственной фигуры и не перепутать ребро с гранью.

Модель многогранного угла подготавливает к изучению многогранников. Она показывает, как плоские грани соединяются в пространстве и почему у объёмной фигуры могут быть общие рёбра и вершины.

Что запомнить

• Все рёбра многогранного угла имеют общую вершину.
• Рёбра модели изображают лучи многогранного угла.
• Каждая грань — плоский угол между соседними рёбрами.
• Для модели важно расположить рёбра не в одной плоскости.
• Части модели должны соответствовать частям геометрической фигуры.