14.1. Что такое многогранный угол?

Определения и обозначения

Многогранный угол — часть пространства, образованная несколькими плоскими углами с общей вершиной. Представь, что плоские углы расходятся от одной точки в разные стороны и вместе образуют пространственную фигуру. Это понятие помогает описывать форму частей многогранников и других пространственных фигур.

Вершина многогранного угла — общая вершина всех плоских углов, образующих этот угол. Обычно её обозначают заглавной буквой, например O. Вершина нужна, чтобы увидеть, вокруг какой точки расположены все грани фигуры.

Ребро многогранного угла — общий луч двух соседних граней. Луч — это часть прямой, у которой есть начало и которая продолжается в одну сторону; соседние грани имеют такой луч общей стороной. Рёбра показывают, где плоские углы соединяются друг с другом.

Грань многогранного угла — плоский угол, входящий в его состав. Например, одним из углов при общей вершине O может быть угол, образованный лучами OA и OB. Понятие грани помогает отличать сам плоский угол от его сторон и от всей пространственной фигуры.

Как это устроено

Несколько плоских углов могут образовать фигуру в пространстве, если у них одна и та же вершина, а сами углы расходятся в разных направлениях. Вообрази, что из точки выходят лучи, а между соседними лучами раскрыты плоские углы. Эти углы словно расходятся веером, но не остаются в одной плоскости, поэтому получается пространственная фигура. Если углы не имеют общей вершины, они не собираются вокруг одной точки и многогранного угла не образуют.

Стороны соседних плоских углов становятся рёбрами, потому что именно по этим сторонам углы соприкасаются. Например, одна грань может быть образована лучами OA и OB, а соседняя — лучами OB и OC. Луч OB принадлежит обеим граням, поэтому он является их общим ребром. У каждой пары соседних граней такое соединение должно быть общим, иначе части фигуры не будут связаны в последовательную форму.

Вид многогранного угла определяют по числу его граней. Если вокруг вершины расположены три плоских угла, получается трёхгранный угол; если четыре — четырёхгранный. Название не зависит от того, насколько широко раскрыты отдельные грани: достаточно пересчитать их. Поэтому при чтении рисунка сначала ищут общую вершину, а затем считают плоские углы вокруг неё.

Число граней совпадает с числом рёбер, потому что грани образуют последовательный замкнутый ряд. Между первой и следующей гранью проходит одно общее ребро, затем между следующими гранями — ещё одно, и так далее. Последняя грань также соединяется ребром с первой, поэтому при обходе ряда не появляется лишняя грань или ребро. Например, четыре грани по кругу соединены четырьмя рёбрами.

На пространственном рисунке многогранный угол узнают по общей вершине и нескольким плоским углам, расходящимся от неё. Плоский угол, напротив, можно целиком расположить на одном плоском листе и он ограничен двумя лучами. На рисунке части пространственной фигуры могут выглядеть иначе из-за того, как её изобразили на бумаге, поэтому важно не судить только по наклону линий. Проверь, что перед тобой несколько граней с общей вершиной, соединённых общими рёбрами.

Элементы и виды многогранного угла

Пользуйся таблицей, когда нужно назвать части фигуры или определить её вид. Сначала найди общую вершину, затем различи плоские углы и их общие лучи. После подсчёта граней назови многогранный угол и проверь, что рёбер столько же.

Разбор задач

Задача 1. Многогранный угол состоит из четырёх граней. Назовите его вид и определите число рёбер. Сначала используем количество граней для названия, а затем — связь между числом граней и числом рёбер.

1. В условии указано четыре грани.
2. Угол с четырьмя гранями называют четырёхгранным.
3. Число рёбер равно числу граней, значит, рёбер тоже четыре.

Ответ: угол четырёхгранный, у него четыре ребра. Название и количество рёбер здесь связаны с одним и тем же подсчётом.

Задача 2. Есть общая вершина и пять лучей вокруг неё, соседние лучи образуют плоские углы. Сколько граней и рёбер имеет многогранный угол? Каждый плоский угол между соседними лучами составляет одну грань, а лучи, по которым соединяются эти грани, являются рёбрами.

1. Посчитаем лучи: их пять, значит, соседних пар лучей вокруг вершины тоже пять.
2. Каждая соседняя пара образует плоский угол, поэтому получается пять граней.
3. Каждый из пяти лучей служит общим ребром соседних граней, значит, рёбер также пять.

Ответ: пять граней и пять рёбер. Такой угол называют пятигранным. Подсчёт работает, если лучи расположены последовательно вокруг общей вершины и образуют замкнутый ряд граней.

Задача 3. Нужно проверить фигуру: её плоские углы не имеют общей вершины или две соседние грани не имеют общего ребра. Является ли такая фигура многогранным углом? Для проверки сопоставим описание с обязательными признаками определения.

1. У многогранного угла все грани должны иметь одну общую вершину.
2. Соседние грани должны соединяться общим лучом, который служит ребром.
3. Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, фигура не является многогранным углом.

Ответ: нет, в каждом из описанных случаев это не многогранный угол. Без общей вершины углы не собираются в одну фигуру, а без общего ребра соседние грани не соединены требуемым образом.

Типичные ошибки

Ошибка — считать гранью луч или отрезок. Так можно подумать, потому что на рисунке лучи хорошо заметны, а сам плоский угол не всегда выделен отдельно. Но грань — это угол, а луч может быть его стороной и общим ребром соседних граней. Проверь себя: если обозначен только луч, спроси, какие две грани он соединяет.

Ошибка — путать общую вершину многогранного угла с другими вершинами, которые могут быть обозначены на рисунке. Её допускают, когда смотрят на буквы точек, но не проверяют, какие лучи из них выходят. У многогранного угла одна вершина общая для всех граней. Найди точку, в которой сходятся стороны всех плоских углов.

Ошибка — считать число граней и рёбер разным. Это случается, если при подсчёте забыть последнее ребро, соединяющее последнюю грань с первой, или дважды посчитать одно и то же. При последовательном расположении граней оба количества совпадают. Проверь подсчёт, обходя фигуру по кругу и отмечая каждую грань и каждое ребро по одному разу.

Ошибка — называть многогранным углом любые несколько углов, нарисованных в пространстве. Само расположение на листе ещё не доказывает, что это одна фигура. У углов может не быть общей вершины или соседние грани могут не соединяться общим ребром. Чтобы проверить себя, найди вершину и проследи, как связаны по очереди все грани.

Связь с другими темами

Для изучения многогранного угла нужно знать, что такое плоский угол, его вершина, стороны и луч. Эти понятия помогают увидеть, из каких частей складывается пространственная фигура. Позже они понадобятся при изучении многогранников, их граней, рёбер и вершин. Многогранные углы помогают описывать пространственные фигуры и выполнять геометрические построения.

Что запомнить

• Многогранный угол является пространственной фигурой.
• Все его грани имеют одну общую вершину.
• Грань многогранного угла — плоский угол.
• Ребро — общий луч двух соседних граней.
• Число граней определяет название многогранного угла.
• Число граней многогранного угла равно числу его рёбер.