§ 14. Многогранные углы

Определения и обозначения

Многогранный угол — фигура, образованная несколькими плоскими углами с общей вершиной; соседние углы имеют общую сторону. Представь несколько углов, поставленных рядом вокруг одной точки: вместе они ограничивают часть пространства. Это название помогает описывать не плоский рисунок, а угол, который можно встретить у объёмной фигуры.

Вершина многогранного угла — общая точка, из которой выходят все его рёбра. Все плоские углы как будто сходятся в ней, поэтому её находят первой, когда разбирают изображение. Без общей вершины лучи не образуют один многогранный угол.

Рёбра многогранного угла — лучи, выходящие из вершины и являющиеся сторонами его плоских углов. Один луч разделяет две соседние грани и одновременно принадлежит обеим. По рёбрам удобно прослеживать, в каком порядке грани расположены вокруг вершины.

Грани многогранного угла — плоские углы между соседними рёбрами. Это не плоские поверхности без границ и не отдельные лучи: каждая грань сама является углом. Грани составляют поверхность той части пространства, которую ограничивает многогранный угол.

Как это устроено

Возьми несколько плоских углов и совмести их вершины. Чтобы из них получился многогранный угол, расположи углы вокруг общей точки так, чтобы стороны соседних углов совпадали, а сами углы не лежали в одной плоскости. Тогда они не просто окажутся рядом на листе: их грани обойдут вершину и ограничат часть пространства. Именно поэтому набор углов с общей точкой ещё не всегда является многогранным углом.

Общая сторона двух соседних плоских углов становится ребром многогранного угла. Так происходит потому, что по этой стороне одна грань переходит в другую; луч принадлежит обеим граням. Если мысленно начать от одного ребра и обходить вершину, соседние рёбра будут встречаться одно за другим, а между каждой соседней парой окажется грань. Такой обход позволяет не пропустить части фигуры.

Плоский угол целиком лежит в одной плоскости и ограничивает часть этой плоскости. У многогранного угла несколько граней, и они расположены в разных плоскостях: иначе они не смогли бы окружить вершину в пространстве. Поэтому многогранный угол можно представить как объёмную «угловую область», а не как один угол на листе. Например, углы у вершины объёмной фигуры могут сходиться из разных направлений.

Представь плоскость, которая пересекает все рёбра, но не проходит через общую вершину. Она «срезает» угол на некотором расстоянии от вершины. На каждой грани линия пересечения даёт отрезок, а отрезки соседних граней соединяются там, где плоскость пересекает ребро. Вместе они образуют замкнутый многоугольник: у него столько сторон, сколько граней у угла.

Для простого примера можно рассмотреть угол с тремя гранями: у него одна вершина, три выходящих луча-рёбра и три плоские грани между соседними лучами. Если граней четыре или пять, вокруг вершины расположены соответственно четыре или пять граней, а границы между ними дают такое же число рёбер. На рисунке сначала найди точку, из которой действительно выходят все лучи, а затем считай лучи и углы между соседними лучами по кругу. Так можно отличить части многогранного угла друг от друга.

Части многогранного угла

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди общую точку, а затем проверь, какие лучи из неё выходят. Каждый луч — ребро, а угол между соседними лучами — грань. Если определение части не совпало с её видом на рисунке, проверь, не перепутаны ли ребро и грань.

Разбор задач

Четыре луча из общей точки

Условие. Из общей точки выходят четыре луча, а соседние лучи образуют четыре плоских угла. Нужно назвать вершину, рёбра и грани. Главное — не принять лучи за углы: у них разные роли в фигуре.

1. Общая точка, откуда выходят все четыре луча, — вершина многогранного угла. Она служит началом каждого ребра и общей вершиной всех граней. Поэтому её не нужно искать отдельно для каждого плоского угла.
2. Каждый из четырёх лучей является ребром. Лучи нужно проследить вокруг общей вершины, чтобы не пропустить ни один. Соседство здесь определяется именно порядком вокруг точки.
3. Между каждой парой соседних лучей расположен плоский угол. По условию таких углов четыре, значит, это четыре грани многогранного угла. Получается, что число рёбер и граней в этом примере одинаково.

Ответ: вершина — общая точка; рёбра — четыре луча; грани — четыре плоских угла между соседними лучами.

Угол с пятью гранями

Условие. Многогранный угол образован пятью гранями. Требуется определить число рёбер и описать их расположение. Удобно мысленно обходить фигуру вокруг вершины, как будто считаешь грани по кругу.

1. Начни с любой грани и перейди к соседней через их общую сторону. Эта сторона является одним ребром, потому что принадлежит обеим граням. Повторяй переход, пока не обойдёшь вершину.
2. При обходе пяти граней встретится пять границ между соседними гранями, включая границу между последней и первой. Каждая такая граница даёт одно ребро. Поэтому рёбер столько же, сколько граней.
3. Все найденные рёбра — лучи с началом в одной вершине. Они идут вокруг неё в том же порядке, что и грани, и разделяют соседние грани. Это не отрезки между разными вершинами, а именно лучи.

Ответ: пять рёбер; все выходят из общей вершины и расположены вокруг неё между соседними гранями.

Сечение угла с шестью гранями

Условие. Плоскость пересекает все рёбра многогранного угла, не проходя через его вершину. Угол образован шестью гранями. Нужно выяснить, сколько сторон будет у сечения и почему.

1. Плоскость пересекает каждую грань по отрезку. Так как граней шесть, при прохождении вокруг вершины получаются шесть отрезков. Каждый из них становится одной стороной сечения.
2. Соседние грани имеют общее ребро. В месте пересечения этого ребра с плоскостью концы двух соседних отрезков соединяются. Поэтому отрезки не остаются разрозненными, а складываются в замкнутую фигуру.
3. У замкнутой фигуры шесть сторон, следовательно, она является шестиугольником. Условие о том, что плоскость не проходит через вершину, важно: тогда сечение находится в стороне от общей точки и образует многоугольник.

Ответ: шесть сторон; сечение — шестиугольник, потому что каждой грани соответствует одна его сторона.

Типичные ошибки

Путать грань с лучом. Луч называют ребром, а гранью — плоский угол между соседними рёбрами. Ошибка возникает потому, что на рисунке обе части изображают линиями. Проверь себя: если объект начинается в общей вершине и тянется в одном направлении, это ребро; если он раскрывается между двумя лучами, это грань.

Считать вершиной любое пересечение линий. На рисунке линии могут пересекаться случайно или относиться к другим частям фигуры. Вершина многогранного угла — именно общая точка, из которой выходят все его рёбра. Проследи каждый луч до начала: если они не начинаются в одной точке, перед тобой не одна вершина этого угла.

Принимать за многогранный угол любой набор углов с общей вершиной. Одна общая точка ещё не гарантирует, что углы окружают часть пространства. Ошибка появляется, когда забывают проверить, как углы расположены вокруг вершины и в каких плоскостях они лежат. Убедись, что соседние грани соединены общими сторонами и вместе образуют пространственную угловую область.

Путать число граней с числом сторон сечения. В данном случае числа равны: каждой грани соответствует одна сторона многоугольного сечения плоскостью, не проходящей через вершину и пересекающей все рёбра. Путаница возникает из-за того, что сторона сечения не является гранью. Проверь соответствие: отрезок лежит в одной грани, а несколько таких отрезков вместе образуют многоугольник.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать многогранный угол, нужно уметь узнавать луч и плоский угол, находить вершину и стороны угла. Эти понятия уже описывают фигуры на плоскости, а теперь помогают понять, как углы соединяются в пространстве. Многогранные углы встречаются при изучении объёмных фигур: в частности, у вершины многогранника сходятся его грани. Так плоские углы помогают исследовать строение пространственных тел.

Что запомнить

• Все рёбра многогранного угла выходят из одной вершины.
• Рёбра многогранного угла — лучи.
• Грани — плоские углы между соседними рёбрами.
• Грани расположены вокруг общей вершины.
• Сечение плоскостью, не проходящей через вершину, образует многоугольник.