13.2. Новая классификация треугольников

Определения и обозначения

Остроугольный треугольник — треугольник, у которого все три угла острые, то есть каждый меньше 90°. Такой признак позволяет узнать его вид, сравнив каждый угол с прямым углом. Если хотя бы один угол не острый, треугольник уже нельзя назвать остроугольным.

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Наличие именно такого угла является главным признаком этого вида. Остальные углы определяют не название, а дополняют описание треугольника.

Тупоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол тупой, то есть больше 90°, но меньше 180°. По этому углу его можно отличить от остроугольного и прямоугольного. Два других угла при этом обязательно оказываются острыми.

Как это устроено

Треугольники можно классифицировать не только по сторонам, но и по углам. При классификации по сторонам спрашивают, какие стороны равны: например, равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. При классификации по углам сравнивают величину каждого угла с 90°. Поэтому один и тот же треугольник получает два названия, отвечающих на разные вопросы.

В любом треугольнике сумма трёх углов равна 180°. Два прямых угла уже дают 90° + 90° = 180°, поэтому третий угол должен был бы быть 0°, а такого угла у треугольника нет. Два тупых угла ещё больше 90° каждый, значит, их сумма сразу превышает 180°. Следовательно, двух прямых или двух тупых углов в одном треугольнике быть не может.

Если один угол прямой, то два оставшихся в сумме дают 90°, потому что 180° − 90° = 90°. Каждый из них меньше 90°, значит, оба угла острые. Если один угол тупой, он больше 90°, и на два остальных остаётся меньше 90° в сумме. Каждый из этих углов тоже меньше 90°, поэтому они острые.

Чтобы определить вид треугольника по углам, сначала находят или рассматривают все три угла. Затем каждый угол сравнивают с 90°: три острых угла дают остроугольный треугольник, один прямой — прямоугольный, один тупой — тупоугольный. Если известны только два угла, третий находят вычитанием их суммы из 180°. После этого обязательно проверяют, что все три угла положительны и вместе составляют 180°.

Виды треугольников по величинам углов

Сначала найдите в таблице условие, которое подходит к данным углам. Затем проверьте, что остальные углы не противоречат сумме 180°. Строка про остроугольный треугольник требует проверки всех трёх углов, а для двух других видов достаточно найти один прямой или тупой угол и убедиться в правильности суммы.

Разбор задач

Задача 1

Углы треугольника равны 50°, 60° и 70°. Нужно определить его вид по углам. Сначала проверим, могут ли такие углы составлять треугольник. Затем сравним каждый из них с 90°.

1. Складываем углы: 50° + 60° + 70° = 180°. Значит, данные согласуются с суммой углов треугольника.
2. Сравниваем углы с 90°: 50°, 60° и 70° меньше 90°.
3. Все три угла острые, поэтому выбираем определение остроугольного треугольника.

Ответ: треугольник остроугольный. Условие по сумме углов выполнено.

Задача 2

Один угол треугольника равен 90°, а другой — 35°. Требуется найти третий угол и назвать вид треугольника. Для этого используем сумму углов, равную 180°.

1. Складываем известные углы: 90° + 35° = 125°.
2. Находим третий угол: 180° − 125° = 55°.
3. В треугольнике есть угол 90°, значит, по определению он прямоугольный. Два остальных угла, 35° и 55°, острые.

Ответ: третий угол равен 55°, треугольник прямоугольный. Проверка: 90° + 35° + 55° = 180°.

Задача 3

Даны углы 100°, 50° и 30°. Нужно выяснить, существует ли такой треугольник. Проверим сумму и отдельно учтём наличие тупого угла. Это поможет не принять невозможный набор углов за готовый треугольник.

1. Складываем числа: 100° + 50° + 30° = 180°.
2. Сумма правильная, а все углы положительны, поэтому такой треугольник существует.
3. Угол 100° больше 90° и является тупым. Два других угла меньше 90°, значит, треугольник тупоугольный.

Ответ: такой треугольник существует и является тупоугольным. В нём один тупой и два острых угла.

Типичные ошибки

Два тупых угла. Иногда треугольник называют тупоугольным по двум углам, но это невозможно: их сумма уже больше 180°. Проверьте сумму углов и помните, что тупой угол может быть только один.

«Почти прямой» угол. Угол около 90° не становится прямым автоматически: прямой угол должен быть ровно 90°. Сверяйте точное значение, а не только внешний вид чертежа.

Смешение классификаций. Равные стороны говорят о виде по сторонам, но сами по себе не сообщают, есть ли прямой или тупой угол. Сначала уточните, по какому признаку требуется назвать треугольник.

Проверка только двух углов. По двум углам можно ошибиться, если забыть о третьем или о сумме 180°. Найдите неизвестный угол и проверьте все три значения.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое угол, а также различать острый, прямой и тупой углы. Ещё понадобится правило: сумма углов любого треугольника равна 180°. Без этих знаний невозможно надёжно определить вид треугольника.

Классификация по углам пригодится при изучении прямоугольных треугольников и их сторон. Она также помогает выполнять геометрические построения и проверять, может ли заданная фигура существовать. При решении задач этот способ часто используется вместе с классификацией по сторонам.

Что запомнить

• В остроугольном треугольнике все углы острые.
• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°.
• В треугольнике не бывает двух прямых или двух тупых углов.
• Если один угол треугольника прямой или тупой, два остальных угла острые.
• Один треугольник можно классифицировать и по углам, и по сторонам.