13.1. Что такое классификация?

Определения и обозначения

Классификация — это распределение объектов по группам на основании общего признака. Объектами могут быть предметы, числа или геометрические фигуры. Например, фигуры можно собрать в группы по числу сторон. Классификация нужна, чтобы не рассматривать каждый объект отдельно и удобнее сравнивать весь набор.

Признак классификации — это свойство, по которому сравнивают объекты и решают, к какой группе их отнести. У фигуры таким свойством может быть наличие прямого угла или равенство сторон. Признак помогает задать единое правило для всех объектов. Благодаря этому понятно, почему предмет оказался именно в этой группе.

Основание классификации — выбранный признак, по которому проводят распределение. Если мы выбрали число сторон, то сравниваем фигуры именно по числу сторон, а не по их цвету или размеру. Основание задаёт правило работы с набором. Его нужно определить заранее, чтобы группы можно было сравнивать между собой.

Группа объектов — это объединение предметов, обладающих выбранным признаком. Например, в группу фигур с прямым углом входят все фигуры рассматриваемого набора, у которых есть такой угол. Название группы должно показывать, чем её объекты похожи. Тогда легко проверить, правильно ли распределён каждый предмет.

Как это устроено

Классификация помогает упорядочить множество объектов: вместо длинного перечня мы получаем несколько групп. Так проще увидеть общие свойства предметов и отличия между ними. Например, если разложить фигуры по числу сторон, сразу заметно, какие из них треугольники, а какие — четырёхугольники. Группировка также помогает находить нужный объект среди многих.

Работу начинают с выбора множества объектов, потому что правило должно относиться к конкретному набору. Затем выбирают общий признак и проверяют его у каждого объекта. После проверки предметы распределяют по соответствующим группам. Такой порядок нужен, чтобы ни один объект не забыли и не применяли разные правила к похожим предметам.

Один набор геометрических фигур можно распределить несколькими способами. Если основание — число сторон, фигуры попадут в группы с разным числом сторон; если основание — наличие прямого угла, образуются группы «есть прямой угол» и «нет прямого угла». Эти признаки отвечают на разные вопросы о фигурах. Поэтому результат будет разным, хотя сами фигуры останутся теми же.

Признак должен быть понятным и применимым ко всем объектам выбранного набора. Например, вопрос «есть ли у фигуры прямой угол?» можно проверить для каждого объекта, и ответ будет «да» или «нет». А если выбрать признак, который невозможно определить у части предметов, их нельзя будет распределить по правилу. Перед началом полезно спросить себя: смогу ли я проверить это свойство у каждого объекта?

Группы зависят от основания классификации, потому что именно оно задаёт способ сравнения. Квадрат при распределении по числу сторон относится к четырёхугольникам, а при распределении по равенству всех сторон — к фигурам с равными сторонами. Это не противоречие: в каждом случае рассматривается другое свойство. Чтобы результат был последовательным, нужно выбрать одно основание и придерживаться его до конца.

Пример классификации геометрических фигур по выбранному признаку

Сначала прочитай основание: оно подсказывает, какое свойство нужно проверять. Затем проверь каждую фигуру и отнеси её к подходящей группе. Для одного и того же набора можно выбрать любую из строк таблицы, но в пределах одной классификации основание менять нельзя.

Разбор задач

1. Фигуры с прямыми сторонами

Задача. Разделите треугольник, квадрат, круг и прямоугольник на группы по наличию прямых сторон. Здесь важно проверить все четыре фигуры по одному признаку. Прямые стороны — это стороны, которые не изгибаются.

1. Выбираем основание: наличие прямых сторон.
2. Проверяем треугольник, квадрат и прямоугольник: у них есть прямые стороны.
3. Проверяем круг: у него нет прямых сторон.

Ответ. В первую группу входят треугольник, квадрат и прямоугольник, во вторую — круг. Мы не распределяли фигуры по их углам или числу сторон, потому что выбрали другое основание. Значит, все решения в этом примере отвечают только на вопрос о прямых сторонах.

2. Треугольники по числу равных сторон

Задача. Распределите треугольники по числу равных сторон и назовите признак каждой группы. Сравнивать нужно стороны одного треугольника между собой. Для всех треугольников используем одно правило.

1. Выбираем основание: сколько сторон треугольника равны друг другу.
2. Сравниваем длины сторон каждого треугольника.
3. Относим его к группе с нулём, двумя или тремя равными сторонами.

Ответ. Получаются группы треугольников без равных сторон, с двумя равными сторонами и с тремя равными сторонами. В каждой группе признак — число равных сторон. Чтобы получить конкретное распределение, нужны сами треугольники или сведения об их сторонах; правило классификации от этого не меняется.

3. Две классификации четырёхугольников

Задача. Составьте для набора четырёхугольников одну классификацию по наличию прямого угла, а другую — по равенству сторон. Затем сравните результаты. В условии не перечислены сами фигуры, поэтому здесь покажем порядок действий, а не конкретное распределение.

1. Для первой классификации проверяем у каждого четырёхугольника, есть ли прямой угол, и распределяем по ответу «да» или «нет».
2. Для второй классификации заново сравниваем стороны каждой фигуры и определяем, равны ли все стороны.
3. Сопоставляем группы: объект может оказаться в разных группах, потому что теперь проверяется другое свойство.

Ответ. Первая классификация делит фигуры по углам, вторая — по сторонам. Чтобы назвать конкретные группы с перечислением фигур, нужно знать состав набора. Главное — завершить распределение по одному признаку, прежде чем переходить к следующему.

Типичные ошибки

Не выбирай признак, который нельзя применить ко всем объектам набора. Такая ошибка возникает, когда свойство кажется удобным для большинства предметов, но не подходит для остальных. В итоге часть объектов остаётся без группы. Проверь себя: можно ли задать один и тот же вопрос о выбранном признаке каждому объекту?

Не меняй основание во время распределения. Например, сначала можно начать собирать фигуры по числу сторон, а затем незаметно перейти к наличию углов. Так группы окажутся несопоставимыми, потому что создавались по разным правилам. Для проверки назови признак каждой группы и убедись, что он один и тот же для всего распределения.

Не относись к объекту сразу к нескольким группам, если правило требует однозначного распределения. Это часто происходит, когда группы названы недостаточно точно или их признаки пересекаются. Например, группы «есть прямой угол» и «есть равные стороны» могут обе включать один четырёхугольник. Уточни основание и сформулируй группы как взаимоисключающие ответы на один вопрос.

Не считай, что для набора существует только одна правильная классификация. Иногда ученики принимают первый найденный способ за единственно возможный. Но если изменить основание, получатся другие группы, и это не делает прежнее распределение ошибочным. Проверь себя, предложив другой признак и убедившись, что он тоже применим ко всем объектам.

Связь с другими темами

Перед классификацией полезно уметь сравнивать предметы и геометрические фигуры. Нужно замечать их общие и различающиеся свойства: число сторон, наличие углов, равенство сторон. Без такого сравнения трудно выбрать признак и проверить его у каждого объекта. Поэтому классификация опирается на наблюдение и описание свойств.

Этот способ пригодится при изучении видов геометрических фигур и их свойств. Например, чтобы разобраться, какие фигуры относятся к треугольникам или четырёхугольникам, удобно распределить их по числу сторон. Классификацию применяют и при упорядочивании других данных: она помогает разложить объекты по понятным группам и сравнить их.

Что запомнить

• Классификация — распределение объектов по группам.
• Для классификации выбирают общий признак.
• Основание классификации определяет, как будут устроены группы.
• Один и тот же набор можно классифицировать по разным признакам.
• При распределении нужно последовательно проверять каждый объект.
• Признак должен быть понятен и применим ко всему рассматриваемому набору.