"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Треугольники различают по двум признакам: длинам сторон и величинам углов. По сторонам они бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними, а по углам — остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Эти названия помогают точно описывать чертёж и выбирать нужные свойства при решении задач. Один и тот же треугольник получает по одному названию из каждой группы, если его стороны и углы отвечают соответствующим признакам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
По длинам сторон треугольники делят на равносторонние, равнобедренные и разносторонние. Равносторонний — это треугольник, у которого все три стороны равны. Это название помогает сразу понять, что ни одна сторона не отличается от остальных.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти две стороны называют боковыми, а третью — основанием. Такое определение нужно, чтобы отличать фигуру с парой равных сторон от той, где длины всех сторон различаются.
Разносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Если при сравнении сторон не находится ни одной равной пары, подходит именно это название. Сравнивать нужно все три стороны, а не только две из них.
По величинам углов треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, то есть угол величиной 90°, а тупоугольный — один угол больше 90°. В остроугольном треугольнике все три угла острые, то есть каждый меньше 90°; эти названия позволяют описывать треугольник не по сторонам, а по углам.
У каждого треугольника есть и стороны, и углы, поэтому его можно классифицировать по двум разным основаниям. Название по сторонам сообщает, какие стороны равны, а название по углам — какие углы у фигуры. Например, треугольник может быть одновременно равнобедренным и прямоугольным: эти два признака не мешают друг другу.
Чтобы определить вид по сторонам, сравнивают длины всех трёх сторон. Если все три совпадают, треугольник равносторонний; если совпадают ровно две — равнобедренный; если каждая отличается от остальных — разносторонний. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного: среди его сторон тоже можно выбрать две равные, но равна и третья.
Угол сравнивают с прямым углом, который равен 90°. Острый угол меньше 90°, а тупой больше 90° и меньше 180°. Поэтому, чтобы распознать вид по углам, нужно выяснить, есть ли прямой угол, угол больше 90° или же все углы меньше 90°.
Сумма углов треугольника равна 180°. Два прямых угла уже дали бы 90° + 90° = 180°, и третий угол должен был бы равняться 0°, чего у настоящего треугольника быть не может. Два тупых угла вместе были бы больше 180°, поэтому третий угол также не смог бы поместиться в эту сумму.
Начинай распознавание с того признака, который дан или хорошо виден: сравни стороны либо рассмотри углы. Затем используй второй признак, если нужно дать полное описание. Например, после названия «равнобедренный» можно добавить «остроугольный» или «прямоугольный», но только если углы действительно подходят под это определение.
В таблице названия сгруппированы по основанию классификации: сначала указаны виды по сторонам, затем — по углам. Смотри на признак в третьем столбце и проверяй его у треугольника. Так можно подобрать нужное название, не смешивая две группы.
| Основание классификации | Вид треугольника | Признак |
|---|---|---|
| По сторонам | равносторонний | все стороны равны |
| По сторонам | равнобедренный | две стороны равны |
| По сторонам | разносторонний | все стороны имеют разную длину |
| По углам | остроугольный | все углы острые |
| По углам | прямоугольный | один угол прямой |
| По углам | тупоугольный | один угол тупой |
Стороны треугольника равны 4 см, 4 см и 6 см. Определим его вид по сторонам. В условии уже указаны длины всех трёх сторон, поэтому можно сравнить их напрямую, не рассматривая углы.
Ответ: равнобедренный треугольник. Он не равносторонний, потому что длина третьей стороны отличается. По этому условию нельзя определить его вид по углам: для этого нужны сведения об углах или дополнительные данные.
У треугольника один угол равен 90°. Нужно определить его вид по углам и выяснить, сколько прямых углов у него может быть. Сначала используем определение, а затем проверим, может ли прямой угол встретиться ещё раз.
Ответ: треугольник прямоугольный, у него может быть только один прямой угол. Два других угла должны быть острыми: вместе они составляют оставшиеся 90°. Поэтому прямой угол в таком треугольнике нельзя перепутать с тупым.
Проверим описание: стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 5 см, а один угол прямой. Сначала выясним, что следует из длин сторон, а после сравним это с условием об угле. Проверка нужна, потому что каждый отдельный признак может быть понятен, но оба вместе могут оказаться несовместимыми.
Ответ: такое описание невозможно. У равностороннего треугольника каждый угол равен 60°, поэтому он остроугольный, а не прямоугольный. При проверке геометрического условия важно удостовериться, что все указанные свойства могут выполняться одновременно.
Иногда треугольник называют равносторонним, заметив две равные стороны. Но это доказывает только равнобедренность: у равностороннего равны все три стороны. Чтобы проверить себя, сравни третью сторону с двумя остальными, а не останавливайся после первой найденной пары.
Другая ошибка — смешивать названия по сторонам с названиями по углам, будто нужно выбрать только одно. На самом деле это два независимых способа описания: равнобедренный треугольник может быть, например, прямоугольным. Проверяй, к какой группе относится признак, и при необходимости называй оба вида отдельно.
Можно ошибочно решить, что у прямоугольного треугольника два прямых угла. Два угла по 90° уже исчерпали бы всю сумму углов треугольника, хотя третий угол тоже должен быть больше нуля. Для самопроверки сложи возможные величины углов и используй равенство: их сумма должна составлять 180°.
Треугольник иногда называют тупоугольным только потому, что угол на рисунке выглядит широким. Однако тупой угол должен быть именно больше 90°, а в треугольнике он может быть только один: два тупых угла вместе превысили бы 180°. Не полагайся лишь на внешний вид — проверь отметку, измерение или известные величины углов.
Для этой темы пригодится умение распознавать острые, прямые и тупые углы, а также сравнивать длины отрезков. Если ты умеешь пользоваться линейкой и транспортиром, то сможешь проверить стороны и углы на чертеже, а не только оценивать их на глаз. Знание видов треугольников понадобится дальше при изучении их свойств, построении чертежей и решении геометрических задач. Точное название помогает понять, какие сведения о фигуре уже известны и что можно искать следующим шагом.
Можно ли один треугольник назвать и равнобедренным, и прямоугольным?
Да. Первое название показывает, что у треугольника две стороны равны, а второе — что один его угол равен 90°. Эти признаки относятся к разным основаниям классификации.
Чем равносторонний треугольник отличается от равнобедренного?
У равностороннего треугольника равны все три стороны. У равнобедренного равны две стороны; третья может иметь другую длину. Поэтому равносторонний треугольник также подходит под определение равнобедренного.
Может ли у треугольника быть два прямых угла?
Нет. Два прямых угла вместе составили бы 180°, и на третий угол уже не осталось бы места. У любого треугольника сумма всех трёх углов равна 180°.
Как определить вид треугольника, если дан только чертёж?
Стороны сравнивают по отметкам равенства или измеряют, если чертёж позволяет это сделать. Углы проверяют по отметкам прямого угла или измеряют транспортиром. Затем отдельно называют вид по сторонам и по углам.
Может ли равносторонний треугольник быть тупоугольным?
Нет. В равностороннем треугольнике все углы равны, а вместе они составляют 180°, значит каждый равен 60°. Такой угол острый, поэтому равносторонний треугольник остроугольный.
§ 13. Еще раз о видах треугольников
