12.7. Перпендикуляр к плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — прямая, пересекающая плоскость под прямым углом. На рисунке место пересечения отмечают значком прямого угла; на модели можно проверить положение угольником. Это определение помогает отличить перпендикуляр от любой другой прямой, которая просто проходит через плоскость.

Перпендикулярный отрезок — часть перпендикуляра от точки вне плоскости до точки, в которой он встречается с плоскостью. Его концы лежат соответственно вне плоскости и в самой плоскости. Такой отрезок нужен, чтобы измерить расстояние от точки до плоскости.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость. На чертеже её можно обозначить буквой, например H. Основание помогает точно указать, куда опущен перпендикуляр.

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикулярного отрезка, проведённого из этой точки к плоскости. Сначала находят основание, затем измеряют отрезок до него. Это понятие позволяет сравнивать, насколько далеко точки находятся от плоскости.

Как это устроено

Представь плоскость как ровную поверхность, а прямую — как палочку, которая проходит сквозь неё. Палочка может пересечь поверхность под разными углами, поэтому одного факта пересечения недостаточно. Перпендикулярной будет только та палочка, которая образует с плоскостью прямой угол. На модели это можно проверить угольником или по форме соединения двух предметов.

Плоскость содержит много прямых, и через точку пересечения можно провести разные направления. Чтобы представить прямой угол с плоскостью, нужно увидеть, что перпендикуляр образует прямые углы с прямыми, лежащими в этой плоскости и проходящими через точку пересечения. Это объясняет, почему прямая не должна быть наклонена в одну из сторон поверхности. На рисунке прямой угол обычно отмечают маленьким квадратом.

Чтобы провести перпендикуляр из точки над плоскостью, сначала наметь точку на плоскости, куда он будет опущен, а затем соедини её с заданной точкой прямым отрезком. Выбирают такое положение, чтобы отрезок подходил к плоскости под прямым углом. Точка, где отрезок касается плоскости, становится основанием перпендикуляра. На чертеже её удобно обозначить буквой и отметить прямой угол.

От точки до плоскости можно провести разные отрезки: прямой и наклонные. Наклонный путь идёт к плоскости не под прямым углом, поэтому его длина показывает длину именно этого пути, а не расстояние до плоскости. Для единого измерения выбирают перпендикулярный отрезок: он идёт прямо к плоскости. Значит, нужно измерить от исходной точки до основания перпендикуляра.

В комнате пол можно представить как часть плоскости, а вертикальную стойку, установленную на полу, — как перпендикуляр к ней. Место, где стойка касается пола, служит основанием, а отрезок стойки от верхней точки до пола показывает расстояние этой точки до пола. Похожий пример — поверхность стола и его вертикальная ножка. Если предмет стоит наклонно, он пересекает поверхность, но не обязательно перпендикулярно ей.

Перпендикуляр к плоскости и связанные с ним понятия

Пользуйся таблицей по порядку: сначала выясни, есть ли прямой угол и где находится точка пересечения. Затем отличи саму точку-основание от отрезка, который к ней проведён. Если требуется расстояние, измеряй именно перпендикулярный отрезок.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены плоскость и несколько прямых, пересекающих её. Определите, какая прямая перпендикулярна плоскости. У каждой прямой есть общая с плоскостью точка, поэтому одного пересечения для ответа недостаточно. Нужно проверить, какая из прямых образует с плоскостью прямой угол.

1. Найди точки, в которых прямые пересекают плоскость. Так станет понятно, где проверять угол.
2. Осмотри обозначения прямого угла или используй угольник, если дана модель. Прямой угол равен 90°.
3. Выбери прямую, для которой отмечен или подтверждён прямой угол с плоскостью. Остальные прямые могут пересекать её наклонно.

Ответ: перпендикулярна плоскости та прямая, которая пересекает её под прямым углом. Без самого рисунка нельзя назвать её номер или букву, но правило выбора остаётся тем же.

Задача 2. Вертикальная стойка установлена на горизонтальном полу. Укажите перпендикуляр к плоскости пола, его основание и отрезок, который задаёт расстояние от верхней точки стойки до пола. Сначала сопоставим поверхность пола и стойку с геометрическими объектами. Затем проследим, где стойка касается пола.

1. Пол представим плоскостью, а вертикальная стойка стоит к нему под прямым углом. Значит, стойка служит перпендикуляром к плоскости пола.
2. Отметим место соприкосновения стойки с полом. Это конкретная точка на плоскости, поэтому она является основанием перпендикуляра.
3. Возьмём часть стойки от верхней точки до основания. Это перпендикулярный отрезок, и именно его длина задаёт расстояние от верхней точки до пола.

Ответ: перпендикуляр — стойка, основание — точка её опоры на полу, расстояние задаёт отрезок от верхней точки до пола.

Задача 3. Из точки над плоскостью проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонный отрезок длиной 8 см. Каково расстояние от точки до плоскости и какой отрезок его задаёт? В условии уже указано, какой отрезок перпендикулярен плоскости. Поэтому не нужно выбирать самый длинный отрезок или складывать данные длины.

1. Вспомним, что расстояние до плоскости измеряют по перпендикуляру. Наклонный отрезок идёт под другим углом.
2. Найдём длину перпендикулярного отрезка в условии. Она равна 6 см.
3. Используем это значение как расстояние от точки до плоскости. Длина наклонного отрезка 8 см для ответа не нужна.

Ответ: расстояние равно 6 см; его задаёт перпендикулярный отрезок длиной 6 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать перпендикулярной любую прямую, которая пересекает плоскость. Так думают, потому что точка пересечения заметна сразу, а угол можно не проверить. Чтобы себя проверить, найди прямой угол: если его нет, прямую нельзя назвать перпендикуляром.

Ошибка: называть основанием весь перпендикулярный отрезок. Путаница возникает потому, что основание находится на его конце. Проверь себя вопросом: речь идёт о точке или о длине? Основание — только точка пересечения с плоскостью.

Ошибка: принимать за расстояние длину любого отрезка от точки до плоскости. Наклонный отрезок тоже соединяет точку с плоскостью, поэтому его легко выбрать по невнимательности. Проверь, образует ли отрезок прямой угол с плоскостью: расстояние задаёт только перпендикуляр.

Ошибка: считать основанием любую точку, лежащую в плоскости. В плоскости таких точек много, но основание связано с конкретным перпендикуляром. Чтобы не перепутать их, найди конец перпендикуляра, который касается плоскости; эта точка и есть основание.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно уметь распознавать прямой угол и отличать прямые от плоскостей на рисунках и моделях. Это помогает понять, как именно линия расположена в пространстве, а не только увидеть, что она пересекает поверхность. Тема продолжает изучение перпендикулярных прямых и измерения расстояний. Позже эти знания пригодятся при работе с пространственными фигурами и их размерами.

Что запомнить

• Перпендикуляр к плоскости пересекает её под прямым углом.
• Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется его основанием.
• Перпендикулярный отрезок соединяет точку вне плоскости с основанием перпендикуляра.
• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикулярного отрезка.
• Не всякий отрезок от точки до плоскости задаёт расстояние до неё.
• Модели предметов помогают увидеть перпендикуляр к плоскости в пространстве.