12.6. Перпендикуляр к прямой

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом. Прямой угол равен 90°, поэтому недостаточно, чтобы две прямые просто встретились: угол между ними должен быть именно таким. Запись a ⟂ b означает, что прямая a перпендикулярна прямой b; знак ⟂ читают как «перпендикулярно».

Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из заданной точки к прямой под прямым углом. Он начинается в заданной точке и заканчивается на прямой, образуя с ней угол 90°. Такое построение нужно, чтобы соединить точку с прямой самым подходящим для измерения способом.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает данную прямую. Например, если из точки A проведён перпендикуляр к прямой, а место пересечения обозначено H, то H — основание. Его отмечают на самой прямой, чтобы было понятно, откуда измерять длину отрезка.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой. Чтобы узнать расстояние, нужно измерить отрезок от точки до основания перпендикуляра. Любой другой отрезок, соединяющий эту точку с прямой, не задаёт такое расстояние.

Как это устроено

Прямой угол можно узнать по угольнику: он совпадает с углом между двумя его сторонами, которые сходятся под углом 90°. Приложи угольник к месту пересечения прямых и проверь, совпадают ли стороны угольника с этими прямыми. Если совпадают, прямые перпендикулярны; на чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком. Такая отметка помогает увидеть нужный угол, даже если сам рисунок выполнен не совсем точно.

Чтобы провести через заданную точку перпендикуляр к прямой, воспользуйся чертёжным угольником. Приложи одну сторону его прямого угла к прямой, а затем передвигай угольник так, чтобы другая сторона прямого угла проходила через заданную точку. Проведи по этой стороне линию от точки до прямой. Угольник нужен потому, что его стороны прямого угла уже образуют угол 90°, и не приходится определять угол на глаз.

Перпендикуляр образует прямой угол именно в точке пересечения с прямой, потому что один луч этого угла лежит на прямой, а другой — на проведённом отрезке. Угол возникает там, где эти две линии встречаются. Поэтому нельзя отметить прямой угол в произвольном месте отрезка или прямой: отметка должна стоять у их общей точки. Если точка, из которой проводят перпендикуляр, находится вне прямой, отрезок соединяет её с точкой пересечения.

Чтобы обозначить основание, назови точку пересечения, например H, и поставь эту букву прямо на данной прямой. Если от точки A проведён перпендикуляр к прямой через H, можно сказать, что отрезок AH перпендикулярен этой прямой; запись прямых выглядит так: AH ⟂ l. Квадратик у H показывает прямой угол, а буквы помогают отличить основание от остальных точек. Так обозначения сообщают и где находится основание, и какой угол образован.

Длина перпендикуляра служит расстоянием от точки до прямой, потому что для измерения выбирают отрезок, который подходит к прямой под углом 90°. Если провести от точки к прямой наклонный отрезок, он соединит те же объекты, но направление у него будет другим. Поэтому его длина не является расстоянием от точки до прямой в геометрическом смысле. Для ответа сначала строят перпендикуляр, а затем измеряют его длину линейкой.

Перпендикуляр к прямой: основные понятия

Пользуйся таблицей, чтобы различать сам отрезок, точку его пересечения с прямой и длину отрезка. Если нужно назвать расстояние, найди строку про расстояние и проверь, что измеряешь перпендикуляр. Знак ⟂ помогает быстро записать, какие линии образуют прямой угол.

Разбор задач

Задача 1. Найдите пары перпендикулярных прямых и обозначьте прямые углы

На чертеже есть несколько пересекающихся прямых. Нужно проверить, какие из образованных углов равны 90°, и отметить соответствующие места. Не делай вывод только по внешнему виду: линии могут быть нарисованы неточно.

1. Приложи прямой угол угольника к каждой точке пересечения прямых.
2. Сравни стороны угольника с линиями: если стороны совпали с обеими прямыми, угол прямой.
3. Поставь маленький квадратик у найденного угла и запиши для пары прямых знак ⟂.

Проверка угольником показывает величину угла, а не просто то, что линии пересекаются. Если угол не совпал с прямым углом угольника, эту пару нельзя отмечать как перпендикулярную. Ответ: перпендикулярны только те пары прямых, у которых угольник подтвердил угол 90°.

Задача 2. Из точки вне прямой проведите перпендикуляр и обозначьте основание

Дана прямая l и точка A, которая на ней не лежит. Нужно провести отрезок из A к l так, чтобы он образовал прямой угол, и назвать точку пересечения. Для построения важно удержать прямой угол угольника, а не соединять точку с прямой на глаз.

1. Приложи одну сторону прямого угла угольника к прямой l.
2. Передвинь угольник вдоль прямой так, чтобы другая сторона прямого угла прошла через A.
3. Проведи по этой стороне отрезок от A до l и обозначь точку пересечения буквой H.

Угол при H получается прямым, потому что одна его сторона лежит на l, а другая проведена по стороне угольника, перпендикулярной первой. Точка H находится на прямой и является основанием перпендикуляра. Ответ: AH — перпендикуляр к l, основание — H; запись: AH ⟂ l.

Задача 3. Проведите перпендикуляр, измерьте его длину и запишите расстояние

Из заданной точки A нужно провести перпендикуляр к прямой l, измерить его и назвать расстояние от A до l. Сначала нужно выполнить построение, потому что измерение любого случайного отрезка до прямой даст неверный результат. Пусть перпендикуляр пересекает l в точке H.

1. Построй отрезок AH с помощью угольника так, чтобы AH ⟂ l.
2. Приложи линейку к отрезку от A до H и измерь его длину в сантиметрах или миллиметрах.
3. Запиши результат: расстояние от A до l равно длине AH.

Например, если AH при измерении оказался равен 3 см, то расстояние от A до l составляет 3 см. Наклонный отрезок от A к другой точке прямой измерять вместо AH нельзя: он не образует с l прямой угол. Ответ: расстояние от A до l равно измеренной длине перпендикуляра AH.

Типичные ошибки

Ошибка: считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Её допускают, потому что на рисунке линии могут выглядеть почти как прямой угол, хотя угол отличается от 90°. Проверь себя угольником: если его прямой угол не совпал с линиями, не ставь знак ⟂.

Ошибка: называть перпендикуляром целую прямую, а не отрезок от точки до прямой. Так бывает, когда путают две связанные идеи: перпендикулярные прямые и перпендикуляр, опущенный из точки. Проверь, указан ли отрезок от заданной точки до прямой и образует ли он с ней угол 90°.

Ошибка: отмечать основание не на данной прямой или не в точке пересечения. Иногда путают основание с точкой, из которой провели перпендикуляр, хотя основание — другой конец отрезка. Проверь чертёж: основание должно одновременно лежать на прямой и принадлежать перпендикуляру.

Ошибка: находить расстояние до прямой по наклонному отрезку. Его могут выбрать потому, что он тоже соединяет точку с прямой и заметен на рисунке. Проверь угол у точки пересечения: измерять нужно только отрезок, который образует с прямой прямой угол.

Связь с другими темами

До изучения перпендикуляра нужно уметь распознавать угол и отличать прямой угол от других углов. Понадобятся понятия прямой и отрезка, а также навык работы с чертёжным угольником. Эти знания помогают выполнить построение и проверить его точность.

Перпендикуляр пригодится при построении геометрических фигур и измерении расстояний. Например, с его помощью находят высоту треугольника: это отрезок, проведённый из вершины к противоположной стороне или её продолжению под прямым углом. Поэтому умение строить перпендикуляр станет основой для следующих геометрических построений.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Перпендикуляр к прямой образует с ней угол 90°.
• Основание перпендикуляра лежит на данной прямой.
• Перпендикулярность обозначают символом ⟂.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.