"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Чертёжный треугольник, или угольник, — плоский инструмент с прямым углом. Он помогает точно проводить перпендикулярные прямые, строить параллельные линии вместе с линейкой и проверять углы на чертеже. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона напротив него — гипотенузой. Чтобы построение получилось верным, нужно выбрать нужную сторону угольника, совместить её с прямой или точкой и удерживать инструмент неподвижно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Чертёжный треугольник — плоский инструмент треугольной формы с прямым углом. Его используют, чтобы проводить и проверять линии и углы на чертеже. Прямой угол в инструменте помогает строить перпендикулярные прямые. Поэтому угольник удобен там, где одной линейкой нельзя точно задать нужное направление.
Угольник — другое название чертёжного треугольника. Его прямой угол позволяет провести линию, которая пересекает данную под прямым углом. Такие линии называют перпендикулярными. Если расположить угольник правильно, не нужно угадывать величину угла: её задаёт форма инструмента.
Катеты — стороны чертёжного треугольника, которые образуют прямой угол. Они встречаются в вершине этого угла и при построении могут прилегать к линиям чертежа. По одному катету удобно проводить перпендикуляр к прямой, приложив к ней другой катет. Так стороны инструмента помогают точно задать направление линии.
Гипотенуза — сторона угольника, лежащая напротив прямого угла. Она соединяет концы катетов и не образует прямой угол ни с одним из них. Поэтому для построения перпендикуляра к прямой обычно выбирают катет, который вместе с другим катетом задаёт прямой угол. Различать стороны нужно до того, как проводить линию.
Угольник устроен так, что два его катета сходятся под прямым углом. Если один катет приложить к прямой, второй будет направлен поперёк неё под прямым углом. Причина в том, что угол между катетами уже задан формой инструмента и не меняется при его перемещении. Поэтому по второму катету можно провести перпендикуляр к исходной прямой.
Чтобы провести перпендикуляр через точку на прямой, совмести с прямой один катет. Затем передвинь или поверни угольник так, чтобы вершина прямого угла оказалась точно на заданной точке. Проведи линию по другому катету: именно он образует с первым прямой угол. Если вершина не совпадёт с точкой, линия пройдёт мимо нужного места, даже если угол будет прямым.
Точка для перпендикуляра может находиться и вне прямой. В этом случае приложи один катет к прямой и перемещай угольник вдоль неё, не меняя положения катета относительно прямой. Остановись, когда второй катет пройдёт через заданную точку. Такое перемещение сохраняет прямой угол между сторонами угольника, поэтому проведённая линия будет перпендикулярна исходной.
Для параллельной прямой нужны и угольник, и линейка. Прижми один катет угольника к линейке, а другой расположи вдоль данной прямой. Удерживая линейку на месте, сдвигай угольник до заданной точки: линейка не даёт ему повернуться, поэтому направление катетов сохраняется. Проведи прямую по тому же катету, который шёл вдоль исходной прямой; линии будут параллельны.
Форма угольника помогает строить углы, которые предусмотрены его конструкцией. У разных угольников могут быть разные острые углы, поэтому не стоит считать, что любой инструмент задаёт одинаковые углы. Посмотри на обозначения на самом угольнике и выбирай подходящую сторону. Чтобы проверить построение, сопоставь стороны инструмента с линиями: нужные стороны должны совпадать, а стороны для перпендикуляра — образовывать прямой угол.
| Часть или признак | Как распознать | Как использовать |
|---|---|---|
| Прямой угол | Угол между двумя сторонами, как угол листа бумаги. | Задаёт направление перпендикулярных линий. |
| Катеты | Две стороны, которые сходятся в вершине прямого угла. | Один катет совмещают с прямой, по другому проводят перпендикуляр. |
| Гипотенуза | Сторона напротив прямого угла. | Её не выбирают вместо катета при построении перпендикуляра. |
| Положение угольника при построении перпендикуляра | Один катет лежит на данной прямой, вершина прямого угла — в нужной точке. | Линию проводят вдоль второго катета. |
| Положение угольника и линейки при построении параллельной прямой | Катет угольника опирается на линейку, второй направлен вдоль исходной прямой. | Угольник сдвигают по линейке до точки и проводят линию по тому же катету. |
Сначала найди на инструменте прямой угол и катеты, а затем выбери нужное положение по таблице. При построении перпендикуляра ориентируйся на точку и данную прямую. Для параллельной линии проверь, что угольник опирается на линейку и не поворачивается при сдвиге.
Задача: проведи через точку на прямой перпендикуляр к этой прямой с помощью чертёжного треугольника. Нужно, чтобы новая линия прошла через заданную точку и образовала прямой угол с исходной. Для этого один катет совмещают с прямой, а второй используют как направление построения. Вершина прямого угла должна оказаться именно в точке.
Ответ: через точку проведён перпендикуляр к данной прямой по второму катету угольника.
Задача: проведи через точку, которая не лежит на прямой, перпендикуляр к этой прямой. В отличие от предыдущей задачи, вершину угольника нельзя сразу поставить на точку и одновременно совместить катет с прямой. Поэтому инструмент нужно перемещать, сохраняя его направление относительно прямой. Остановиться следует тогда, когда второй катет пройдёт через точку.
Ответ: через внешнюю точку проведён перпендикуляр к прямой.
Задача: проведи через точку вне прямой прямую, параллельную данной, используя угольник и линейку. Параллельные прямые идут в одном направлении и не пересекаются. Чтобы сохранить направление, угольник нельзя просто сдвигать рукой: при движении он может повернуться. Линейка становится направляющей и удерживает выбранное положение инструмента.
Ответ: через точку проведена прямая, параллельная данной.
Проводят линию вдоль гипотенузы вместо катета, потому что не проверяют, какая сторона образует прямой угол с выбранной прямой. В результате построение может не дать перпендикуляр. Перед черчением найди вершину прямого угла и определи, какие стороны сходятся в ней. Проверь себя: нужный катет должен совпадать с исходной прямой, а линия по другому катету — образовывать с ней прямой угол.
При построении перпендикуляра вершина прямого угла не совпадает с заданной точкой. Так бывает, если ученик следит только за положением стороны, но забывает проверить вершину угольника. Тогда линия получается перпендикулярной, но проходит рядом с нужным местом. Перед проведением карандашом убедись, что вершина прямого угла точно стоит на точке.
Угольник сдвигают без опоры на линейку, когда строят параллельную прямую. При таком движении он может повернуться, и направление новой линии изменится. Линейка нужна, чтобы угольник скользил вдоль неё, не поворачиваясь. Проверь себя: во время сдвига выбранный катет должен всё время прилегать к линейке.
Край инструмента обводят, не удерживая угольник неподвижно. Тогда он может съехать, и линия станет неровной или пройдёт мимо заданной точки. Прижми угольник рукой, не закрывая место, где нужно вести карандаш. Перед тем как убрать инструмент, проверь, что линия проходит через точку и совпадает с нужным краем.
Для работы с угольником нужно знать, что такое прямая, отрезок и прямой угол. Эти понятия помогают понять, какую линию строить и где она должна проходить. Также важно уметь пользоваться линейкой: она нужна для проведения ровных линий и служит направляющей при построении параллельной прямой. Если эти действия пока непривычны, сначала потренируйся проводить прямые и совмещать края инструментов.
Построение перпендикулярных и параллельных прямых пригодится при изображении геометрических фигур и решении задач на углы. Перпендикуляры помогают точно задать прямой угол, а параллельные линии сохраняют одинаковое направление. Эти умения используют, например, при построении сторон фигур и проверке чертежей. Аккуратное построение помогает увидеть связи между частями фигуры.
Чем чертёжный треугольник отличается от линейки?
Линейка помогает проводить прямые линии и измерять отрезки. У чертёжного треугольника есть прямой угол, поэтому с его помощью можно строить перпендикулярные прямые. Вместе с линейкой угольник используют и для построения параллельных прямых.
Как понять, где у угольника катеты, а где гипотенуза?
Найди прямой угол — он похож на угол листа бумаги. Две стороны, которые сходятся в этой вершине, — катеты. Третья сторона, напротив прямого угла, — гипотенуза.
Как провести перпендикуляр через точку на прямой?
Приложи один катет угольника к прямой и поставь вершину прямого угла точно на заданную точку. Проведи линию вдоль другого катета: она образует с исходной прямой прямой угол.
Можно ли провести перпендикуляр через точку вне прямой?
Да. Расположи один катет вдоль прямой и перемещай угольник, пока второй катет не пройдёт через заданную точку. Затем проведи по нему линию.
Зачем при построении параллельной прямой нужна линейка?
Линейка служит направляющей и не даёт угольнику повернуться при сдвиге. Благодаря этому выбранная сторона угольника сохраняет прежнее направление, и новая линия получается параллельной данной.
12.5. Чертежный треугольник
