12.4. Угол треугольника

Определения и обозначения

Угол треугольника — часть плоскости, ограниченная двумя сторонами треугольника, выходящими из одной вершины. На чертеже его изображают двумя сторонами и областью между ними. Это определение помогает видеть в угле не только линии, но и пространство между ними.

Вершина угла треугольника — общая точка двух сторон, образующих этот угол. Например, у угла при B вершиной служит точка B. Найти вершину нужно, чтобы понять, какой именно угол рассматривается.

Стороны угла треугольника — две стороны треугольника, сходящиеся в его вершине. Если вершина — B в треугольнике ABC, то сторонами угла будут BA и BC. По этим сторонам можно определить границы угла и не спутать его с углами при других вершинах.

Угол можно обозначить одной буквой — названием его вершины, или тремя буквами, где буква вершины стоит посередине. Например, угол при B можно записать как ∠B или ∠ABC. Такое обозначение позволяет указать нужный угол, особенно если одной буквы на чертеже недостаточно.

Как это устроено

У каждой вершины треугольника встречаются две его стороны. Именно их общая точка становится вершиной угла, а сами стороны задают его границы. Поэтому при каждой вершине появляется угол: чтобы найти его, достаточно посмотреть, какие две стороны сходятся в этой точке.

Угол при выбранной вершине составляют только стороны, выходящие из неё. Третья сторона соединяет две другие вершины и находится напротив выбранной точки, поэтому она не задаёт границы этого угла. Например, при вершине B в треугольнике ABC угол образуют BA и BC, а AC в его образовании не участвует.

В записи угла тремя буквами сначала называют точку на одной его стороне, затем вершину, а потом точку на другой стороне. Так, ∠ABC указывает на угол, стороны которого проходят через A и C, а общая точка этих сторон — B. Можно поменять местами первую и последнюю буквы: ∠CBA обозначает тот же угол, поскольку вершина остаётся посередине.

У треугольника три вершины, и в каждой сходятся две стороны. Значит, при каждой вершине есть свой угол, всего их три. Соответствие помогает быстро разобраться в чертеже: если известна вершина угла, можно найти его стороны, а если угол отмечен, определить его вершину.

На рисунке угол часто показывают небольшой дугой около его вершины. Дуга выделяет нужную область между сторонами и помогает не принять за угол соседнюю часть чертежа. Особенно полезно смотреть, где расположена дуга, когда около одной точки проведено несколько линий или на чертеже отмечено несколько углов.

Части и обозначения угла треугольника

Сначала найди общую точку двух сторон: это вершина. Затем назови стороны, которые из неё выходят, и обозначь угол одной или тремя буквами. В записи из трёх букв проверь, что название вершины стоит посередине.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC укажите вершину и стороны угла при вершине B. Нужно отыскать угол, который образуют стороны треугольника в точке B. Не следует включать в этот угол сторону, лежащую напротив вершины B.

1. Найдём стороны, у которых есть общая точка B: это BA и BC.
2. Их общая точка B и есть вершина угла.
3. Сторона AC не выходит из B, поэтому она не является стороной этого угла.

Ответ: вершина угла — B, его стороны — BA и BC.

Задача 2

Запишите двумя способами угол треугольника DEF при вершине E. Один способ использует только букву вершины, а другой должен показать, какие стороны ограничивают угол. Для трёх букв понадобится назвать точки на обеих сторонах угла.

1. Вершина рассматриваемого угла — E, поэтому краткая запись — ∠E.
2. Из E выходят стороны ED и EF; на них лежат точки D и F.
3. Поставим E между буквами этих точек, получим ∠DEF. Можно также прочитать стороны в обратном порядке: ∠FED.

Ответ: ∠E и ∠DEF. Запись ∠FED тоже обозначает этот угол.

Задача 3

Начертите треугольник PQR, выделите дугой угол при вершине Q и запишите его обозначение. Здесь важно сначала связать дугу с вершиной, а затем определить стороны угла. В названии из трёх букв Q должна оказаться в середине.

1. Начертите треугольник PQR и найдите точку Q.
2. Определите две стороны, выходящие из Q: QP и QR.
3. Проведите небольшую дугу между этими сторонами около Q, чтобы отметить угол.
4. Запишите угол кратко как ∠Q, а тремя буквами — ∠PQR.

Ответ: дугой выделен угол при Q; его обозначения — ∠Q и ∠PQR. Запись ∠RQP также верна, потому что Q в ней остаётся вершиной.

Типичные ошибки

Ошибка: угол называют по третьей стороне треугольника. Так происходит, если смотреть только на название треугольника, а не на общую точку нужных сторон. Проверь себя: обе стороны искомого угла должны выходить из его вершины; сторона напротив неё не подходит.

Ошибка: в обозначении тремя буквами вершину ставят первой или последней. Часто порядок букв путают с порядком перечисления вершин треугольника. Проверь запись: средняя буква должна называть общую точку сторон угла.

Ошибка: считают, что угол — это только две линии-стороны. Линии действительно показывают границы, поэтому легко забыть о части плоскости между ними. Чтобы проверить себя, представь угол как область между сторонами, а не просто как пару отрезков.

Ошибка: вершину путают с точкой, лежащей на одной стороне. Такая точка может быть удобна для обозначения угла, но сама по себе не является общей точкой двух сторон. Найди место, где стороны сходятся: именно оно будет вершиной.

Связь с другими темами

Перед изучением углов нужно уметь распознавать треугольник, его вершины и стороны. Если находить общую точку двух сторон пока трудно, сначала назови все вершины треугольника и стороны, которые их соединяют. Тогда определить стороны угла при выбранной вершине станет проще.

Понятие угла пригодится, когда учатся измерять и сравнивать углы, узнавать виды треугольников и решать геометрические задачи. Во всех этих случаях сначала нужно понять, какой угол рассматривают и где находится его вершина. Уверенное чтение обозначений помогает правильно работать с чертежами.

Что запомнить

• У треугольника три вершины и три угла.
• Угол при вершине образуют две стороны, выходящие из неё.
• Общая точка этих сторон — вершина угла.
• В обозначении угла тремя буквами вершина стоит посередине.
• Каждому углу треугольника соответствует одна его вершина.