§ 1. Отрезок. Равенство отрезков

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, включая эти точки. Например, если на прямой отметить точки A и B, отрезок AB содержит сами точки и все точки между ними. Это понятие нужно, чтобы точно выделять конечную часть прямой и работать с расстояниями.

Концы отрезка — две точки, которые ограничивают его; отрезок называют по его концам. Если концы обозначены буквами A и B, пишут AB или BA. Название помогает указать, какой именно отрезок рассматривается, особенно когда на чертеже их несколько.

Длина отрезка — расстояние между его концами, выраженное в выбранных единицах длины. Её можно измерить линейкой, например в сантиметрах или миллиметрах. Длина позволяет узнавать, насколько далеко друг от друга расположены концы, и сравнивать отрезки.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины, которые при наложении совмещаются. Их положение на листе может быть разным, но расстояния между концами должны совпадать. Это определение нужно, чтобы отличать равенство самих отрезков от сходства их рисунков.

Как это устроено

Две разные точки на прямой задают единственную часть прямой между ними. Если выбрать точки A и B, нельзя получить два разных отрезка с теми же концами: путь между точками по прямой только один. В отрезок входят все точки между концами, потому что иначе в нём остались бы разрывы. Сами концы тоже включены, поэтому отрезок начинается и заканчивается именно в этих точках.

Для названия отрезка берут две заглавные буквы, которыми обозначены его концы. Так запись AB сообщает, что речь идёт об отрезке с концами A и B, а не о другом участке чертежа. Буквы можно переставить: BA указывает на те же две точки и тот же отрезок. Это удобно, когда отрезок рассматривают в разном порядке, например сравнивая AB с CD.

Длину находят с помощью линейки: сначала совмещают один конец отрезка с нулевой отметкой, затем смотрят, напротив какой отметки оказался второй конец. Число на линейке показывает длину в тех единицах, которые подписаны возле делений. Если линейка начинается не с нуля, нужно учитывать, на сколько делений она сдвинута, и найти разность показаний у концов. Единицу измерения записывают рядом с числом, например 6 см.

Отрезки сравнивают по длине, потому что длина показывает расстояние между концами независимо от положения и направления отрезка. Если один отрезок длиннее другого, его длина выражается большим числом в одинаковых единицах. Например, 8 см больше 5 см, значит отрезок длиной 8 см длиннее. Равенство отрезков означает равенство их длин, а не то, что они нарисованы рядом или направлены одинаково.

Равенство можно проверить наложением: совместить один конец первого отрезка с концом второго, а затем сравнить их расположение. Если совпал и другой конец, отрезки совмещаются и равны. Можно также измерить оба отрезка одной линейкой и сравнить полученные значения, обязательно записанные в одинаковых единицах. Измерение удобно на чертеже, а наложение помогает понять, что равные отрезки могут находиться в разных местах.

Основные понятия об отрезках

Пользуйся таблицей, чтобы быстро вспомнить значение каждого понятия и подходящий способ проверки. Если нужно сравнить отрезки, сначала выясни их длины и убедись, что они выражены в одинаковых единицах. При названии отрезка проверь, что обе буквы обозначают его концы.

Разбор задач

Задача 1

Даны точки A и B. Назвать отрезок, который они определяют, и записать все возможные его обозначения. Нужно использовать только буквы, соответствующие концам. Поскольку концы всего два, перестановка их порядка не создаёт нового отрезка.

1. Проверь, какие точки ограничивают отрезок: это A и B.
2. Запиши обе буквы в порядке A, затем B: получаем AB.
3. Поменяй буквы местами: получаем BA, обозначение того же отрезка.

Ответ: отрезок AB; все возможные обозначения — AB и BA.

Задача 2

Измерить отрезки AB и CD, сравнить их длины и определить, равны ли они. На рисунке или чертеже конкретные значения нужно получить линейкой, поэтому сначала важно правильно её приложить. Обозначим полученные длины буквами, например AB = 4 см и CD = 4 см.

1. Приложи линейку к AB так, чтобы его первый конец совпал с отметкой 0.
2. Прочитай значение у второго конца и запиши длину вместе с единицей измерения.
3. Так же измерь CD, не меняя единицу измерения, затем сравни числа.
4. Если числа одинаковы, отрезки равны; если одно больше, соответствующий ему отрезок длиннее.

Ответ: сравни полученные длины; если AB = CD, отрезки равны, иначе равными их считать нельзя. Например, при AB = 4 см и CD = 4 см отрезки равны.

Задача 3

На отрезке AB длиной 12 см отмечена точка C так, что AC = 5 см. Найти длину CB и определить, равны ли AC и CB. Точка C делит целый отрезок на две части, поэтому длина AB складывается из длин AC и CB. Чтобы найти неизвестную часть, из длины целого отрезка вычтем длину известной части.

1. Запиши соотношение: AB = AC + CB.
2. Подставь известные длины: 12 см = 5 см + CB.
3. Вычти 5 см из 12 см: CB = 12 − 5 = 7 см.
4. Сравни AC и CB: 5 см меньше 7 см, поэтому длины не равны.

Ответ: CB = 7 см; отрезки AC и CB не равны.

Типичные ошибки

Иногда отрезком считают только линию между концами, забывая сами точки. Так ошибаются, потому что в обычном рисунке концы могут выглядеть как отдельные отметки. Проверь определение: отрезок включает обе ограничивающие точки и все точки между ними. Если точка совпадает с концом, она принадлежит отрезку.

Другая ошибка — назвать отрезок одной буквой или буквами, которые не обозначают его концы. Это происходит, когда путают обозначение точки и обозначение отрезка. Для проверки найди на чертеже обе конечные точки и используй их заглавные буквы. Порядок букв можно менять, но брать нужно именно концы.

При измерении иногда прикладывают начало линейки не к нулевой отметке и принимают показание второго конца за длину. Ошибка появляется, если смотреть только на число у конца, не учитывая сдвиг линейки. Проверь, совпала ли отметка 0 с первым концом; если нет, найди разность показаний у двух концов. Не забудь указать единицу измерения.

Отрезки могут казаться одинаковыми на глаз, хотя их длины различаются. Такое впечатление возникает из-за масштаба рисунка, наклона или неточности чертежа. Не делай вывод только по внешнему виду: измерь оба отрезка одной линейкой или проверь наложением. Равенство подтверждается одинаковой длиной, а не похожим расположением.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужны понятия точки и прямой, знание единиц длины и умение пользоваться линейкой. Эти навыки пригодятся, когда нужно будет изображать ломаные и находить периметр многоугольников: его стороны состоят из отрезков. Измерение отрезков также помогает вычислять расстояния на чертежах и в задачах. Понимание равенства отрезков подготовит к изучению равных фигур и геометрических построений.

Что запомнить

• Отрезок имеет два конца и содержит все точки между ними.
• Отрезок обозначают двумя заглавными буквами, соответствующими его концам.
• Длина отрезка — расстояние между его концами.
• Длину измеряют в выбранных единицах: миллиметрах, сантиметрах, метрах и других.
• Равные отрезки имеют одинаковую длину.
• Чтобы сравнить отрезки, сравнивают их длины.
• Длина целого отрезка равна сумме длин его частей.