14.3. Ломаная в задачах на построение и вычисление

Определения и обозначения

Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков, у которой соседние отрезки имеют общие концы. Она может идти прямо, поворачивать и даже пересекать сама себя. Это понятие нужно, чтобы описывать путь, состоящий из нескольких прямых участков.

Звено ломаной — один из отрезков, образующих ломаную. Длину звена находят так же, как длину обычного отрезка: измеряют линейкой или используют данное в условии число. По звеньям удобно описывать отдельные части пути.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев, а также конец первого или последнего звена. В вершинах ломаная меняет направление, а крайние вершины обозначают начало и конец пути. По вершинам можно понять, как соединены звенья.

Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Если звенья имеют длины a, b и c, то длина равна a + b + c. Это правило позволяет вычислять весь путь, даже если он поворачивает или пересекает себя.

Как это устроено

Ломаную строят последовательно, потому что каждое новое звено должно продолжать уже начатую фигуру. Сначала отмечают начальную точку и от неё откладывают первое звено. Затем от конца первого звена строят второе, от его конца — третье и продолжают так до последнего звена. Если начать откладывать новый отрезок не от нужного конца, звенья не соединятся в одну ломаную.

Чтобы построить ломаную по заданным длинам, используют линейку и последовательно откладывают отрезки нужного размера. Например, после звена длиной 2 см от его конца можно отложить звено длиной 3 см в любом выбранном направлении. Если направления не указаны, выбор можно менять, поэтому получится несколько разных ломаных с теми же длинами звеньев. Все они будут построены правильно, если соседние звенья соединены концами.

Длину ломаной находят сложением всех звеньев, потому что путь состоит из этих отрезков, пройденных один за другим. Нельзя пропускать звено только потому, что оно расположено между другими или кажется частью одного прямого участка. Например, для звеньев 4 см, 2 см и 5 см получаем 4 + 2 + 5 = 11 см. Единица измерения сохраняется в ответе.

Иногда известна длина всей ломаной и длины всех звеньев, кроме одного. Сначала складывают известные длины, потому что они составляют уже известную часть пути. Затем эту сумму вычитают из общей длины: x = L − (a + b + c). Самопересечение не меняет вычисление, поскольку каждое звено всё равно входит в путь один раз, а расстояние между началом и концом не заменяет сумму звеньев.

Элементы ломаной и вычисление её длины

Сначала определите, что именно требуется найти: звенья, вершины или длину всей ломаной. Затем выберите правило из второго столбца и проверьте условие по третьему столбцу. Таблица особенно полезна как краткий план решения задачи.

Разбор задач

Задача 1. Постройте ломаную из трёх звеньев длиной 2 см, 3 см и 4 см. Направления звеньев выберите самостоятельно.

1. Отметим точку A — начало ломаной.
2. От точки A отложим звено AB длиной 2 см и отметим точку B.
3. От точки B в выбранном направлении отложим BC длиной 3 см.
4. От точки C отложим CD длиной 4 см. Получилась ломаная ABCD из трёх звеньев.

Направления можно было выбрать иначе, например повернуть второе или третье звено. Поэтому единственного изображения такой ломаной нет. Ответ: построена ломаная из звеньев 2 см, 3 см и 4 см.

Задача 2. Длины четырёх звеньев ломаной равны 3 см, 5 см, 2 см и 4 см. Найдите длину ломаной.

1. Перечислим все звенья, чтобы ни одно не пропустить: 3 см, 5 см, 2 см и 4 см.
2. Сложим их длины: 3 + 5 + 2 + 4 = 14 см.
3. Запишем единицу измерения, так как складывались сантиметры.

Ответ: 14 см.

Задача 3. Длина ломаной из пяти звеньев равна 26 см. Четыре звена имеют длины 4 см, 6 см, 5 см и 3 см. Найдите длину пятого звена и постройте ломаную.

1. Найдём сумму известных звеньев: 4 + 6 + 5 + 3 = 18 см.
2. Вычтем её из общей длины: 26 − 18 = 8 см.
3. Начертим первое звено длиной 4 см, от его конца второе длиной 6 см, затем звенья 5 см, 3 см и 8 см, каждый раз начиная от конца предыдущего.
4. Проверим результат: 4 + 6 + 5 + 3 + 8 = 26 см.

Ответ: длина пятого звена равна 8 см; ломаная построена.

Типичные ошибки

Иногда не включают в сумму первое или последнее звено, считая только отрезки между внутренними вершинами. Такая ошибка возникает, если смотреть на вершины, а не перечислять весь путь. Проверьте себя: запишите звенья по порядку от начала до конца и посчитайте каждое.

При построении очередной отрезок могут откладывать не от конца предыдущего звена. Тогда отрезки лежат рядом или отдельно и не образуют одну ломаную. После каждого шага проверяйте, что конец нового звена совпал с началом следующего.

Нельзя складывать, например, сантиметры и метры как обычные числа. Сначала переведите все величины в одну единицу, а уже потом выполняйте действие. Полезно записывать единицу рядом с каждым слагаемым.

Расстояние между началом и концом иногда принимают за длину всей ломаной. Это расстояние измеряет только прямой отрезок между крайними точками, а не все повороты пути. Для проверки сложите длины всех звеньев отдельно.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь строить и измерять отрезки линейкой, а также складывать и вычитать величины длины. Без этих навыков трудно точно построить звенья и вычислить весь путь.

Замкнутая ломаная возвращается в начальную точку и образует границу многоугольника. Поэтому понимание звеньев и вершин помогает изучать треугольники, четырёхугольники и другие многоугольники.

Длина ломаной нужна при сравнении маршрутов: можно узнать, какой путь короче. Она также связана с периметром, потому что периметр многоугольника — это сумма длин его сторон.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называют звеньями, а точки их соединения — вершинами.
• Каждое следующее звено строят от конца предыдущего.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.
• Неизвестную длину звена находят вычитанием суммы остальных звеньев из длины всей ломаной.
• Расстояние между концами ломаной не обязательно равно её длине.