§ 15. Ломаные и куб

Определения и обозначения

Ломаная линия — линия, составленная из отрезков, соединённых последовательно. Можно представить, что путь меняет направление в нескольких точках, но каждый его прямой участок остаётся отрезком. Это определение помогает отличать ломаную от одной прямой линии или кривой.

Звено ломаной — один из отрезков, из которых она состоит. Например, если путь собран из четырёх отрезков, у него четыре звена. Слово «звено» удобно, когда нужно назвать отдельную часть ломаной и измерить её длину.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев. В такой точке один отрезок заканчивается, а следующий начинается. Вершины помогают описать, где меняется направление линии, и посчитать точки соединения, не путая их с самими звеньями.

Куб — геометрическое тело, поверхность которого состоит из шести равных квадратов. Квадраты образуют его грани, а само тело занимает пространство, а не только плоскость. Определение позволяет узнать куб среди других тел и объясняет, почему все его грани имеют одинаковую форму и размер.

Как это устроено

Ломаную образуют, соединяя отрезки последовательно: конец одного звена совпадает с началом следующего. Если отрезки просто лежат рядом, но не соприкасаются концами, единого непрерывного пути не получится. Последовательное соединение позволяет пройти по линии от одного её конца до другого, не отрываясь от неё.

Звенья и вершины считают по-разному, потому что это разные элементы: звено — отрезок, а вершина — точка. У соседних звеньев есть общая точка, поэтому одна вершина соединяет сразу два отрезка. У простой ломаной из нескольких звеньев внутренних точек соединения на одну меньше, чем звеньев: у первого и последнего звена только по одному соседу. Концы всей ломаной при этом не называют вершинами, поскольку в них не соединяются два звена.

Чтобы найти длину ломаной, складывают длины всех её звеньев. Расстояние от начала до конца показывает только прямой путь между концами, а ломаная может идти в обход, поэтому оно не заменяет сумму. Длины звеньев можно измерить линейкой или взять из условия задачи. Перед сложением полезно проверить, что все величины выражены в одинаковых единицах, например в сантиметрах.

Куб устроен так, что шесть квадратных граней соединены общими сторонами, которые называют рёбрами. Именно общие стороны удерживают грани вместе и образуют поверхность одного тела, а не шесть отдельных квадратов. Рёбра встречаются в точках, называемых вершинами. Так можно различить три вида элементов куба: плоские грани, отрезки-рёбра и точки-вершины.

У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. На рисунке видна лишь часть поверхности, потому что некоторые грани находятся с обратной стороны; невидимость не означает, что их нет. Чтобы пересчитать элементы, полезно идти в постоянном порядке и отмечать уже найденные. При этом общее ребро двух граней остаётся одним ребром, хотя оно и служит стороной каждой из них.

Ломаная и куб: части и способы подсчёта

В таблице сначала найдите объект, а затем посмотрите, из каких частей он состоит. Последний столбец напоминает, почему при подсчёте важно не принимать общие элементы за несколько разных. Например, ребро между двумя гранями считают один раз.

Разбор задач

Сколько звеньев и вершин у ломаной из трёх звеньев?

Условие: на рисунке изображена ломаная из трёх звеньев. Нужно узнать число звеньев и вершин. Сначала различим отрезки и точки их соединения: звенья — это части линии, а вершины — точки между соседними частями.

1. Звеньев три — это прямо указано в условии. Каждое звено является отдельным отрезком ломаной.

2. Расположим три звена по порядку. Первое соединяется со вторым в одной точке, а второе — с третьим в другой точке.

3. Получились две внутренние точки соединения. Концы всей ломаной не добавляем: там звенья только начинаются или заканчиваются.

Ответ: 3 звена и 2 вершины. Проверка: у простой ломаной из трёх звеньев внутренних соединений на одно меньше, чем звеньев.

Найдите длину ломаной со звеньями 3 см, 4 см и 5 см

Условие: длины трёх звеньев равны 3 см, 4 см и 5 см. Нужно найти длину всей ломаной, а не расстояние между её концами. Поэтому учтём каждый отрезок, по которому проходит линия.

1. Запишем длины звеньев: 3 см, 4 см и 5 см. Все величины уже выражены в одинаковых единицах.

2. Сложим длины, потому что вся ломаная состоит из этих трёх отрезков: 3 + 4 + 5 = 12.

3. К результату добавим единицу измерения. Это нужно, чтобы ответ показывал не только число, но и длину.

Ответ: длина ломаной равна 12 см. Проверка: каждое из трёх звеньев вошло в сумму один раз.

Сколько у куба граней, рёбер и вершин?

Условие: нужно назвать квадратные грани, рёбра и вершины куба и проверить подсчёт. Не будем считать только то, что заметно на плоском изображении: часть элементов находится с обратной стороны. Удобно рассматривать каждый вид элементов отдельно.

1. Считаем грани — плоские квадратные части поверхности. У куба четыре боковые грани и две грани сверху и снизу, всего 6.

2. Считаем рёбра — отрезки, по которым соприкасаются грани. У куба их 12; при подсчёте не повторяем ребро, даже если оно принадлежит двум граням.

3. Считаем вершины — точки встречи рёбер. Их 8: четыре сверху и четыре снизу. Скрытые на рисунке точки тоже относятся к кубу.

Ответ: у куба 6 квадратных граней, 12 рёбер и 8 вершин. Проверка: можно обойти каждую часть модели или мысленно проследить элементы с обратной стороны, отмечая уже посчитанные.

Типичные ошибки

Иногда длиной ломаной считают расстояние между её концами. Так ошибаются, когда воспринимают ломаную как прямой отрезок, хотя она проходит по нескольким звеньям. Чтобы проверить себя, выпишите длину каждого звена и сложите все числа: каждый участок пути должен попасть в сумму.

При подсчёте вершин можно пропустить точку соединения или принять звено за вершину. Это происходит, если не различать отрезки и точки. Проверьте ответ, отмечая каждую общую точку соседних звеньев отдельно; концы ломаной не добавляйте к числу её вершин.

На рисунке куба можно сосчитать только видимые грани и рёбра, забыв о скрытых. Плоское изображение показывает тело лишь с одного направления, поэтому часть элементов закрыта. Проверьте, сошёлся ли подсчёт с числом элементов куба: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Общее ребро иногда считают дважды — по одному разу для каждой грани, к которой оно относится. Его принимают за два разных ребра, хотя это один и тот же отрезок. Для проверки отметьте каждое ребро на модели или мысленно проведите его один раз, не повторяя при переходе к соседней грани.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужно уметь распознавать отрезки, отмечать их концы и измерять длину. Ещё понадобится сложение: именно так находят общую длину нескольких звеньев. Эти умения помогают переходить от отдельных измерений к описанию целой фигуры.

Представление о ломаной пригодится при изучении многоугольников: их границы тоже образованы отрезками. Знание устройства куба поможет знакомиться с другими геометрическими телами и понимать их развёртки — изображения поверхности, которую можно сложить в объёмную фигуру. При этом важно видеть, какие части соединяются и где они встречаются.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Отрезки ломаной называются звеньями, точки их соединения — вершинами.
• Длина ломаной равна сумме длин её звеньев.
• Грани куба — равные квадраты.
• У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.