§ 16. Ломаные на узорах

Определения и обозначения

Ломаная линия — фигура из отрезков, соединённых последовательно. Она образуется так: берут несколько отрезков и соединяют конец одного с началом следующего. Получается путь из прямых частей, который может менять направление или продолжаться прямо.

Звено ломаной — один из отрезков, составляющих ломаную. Чтобы найти звенья на узоре, выбери линию и проследи её от начала до конца, отмечая каждый отдельный прямой отрезок. Это нужно, чтобы не принять всю линию за одно звено и правильно сосчитать её части.

Вершина ломаной — точка, в которой соединяются два соседних звена. Вершина находится внутри пути, а концы незамкнутой ломаной — это начало и конец всей линии. Различать их нужно, чтобы верно считать соединения и не путать их с крайними точками.

Замкнутая ломаная — ломаная, у которой конец последнего звена совпадает с началом первого. В таком случае линия возвращается в исходную точку и не имеет отдельно расположенных начала и конца. Это определение помогает узнать, образует ли путь на узоре замкнутую фигуру.

Как это устроено

Чтобы узнать, является ли линия на узоре ломаной, проверь её части по очереди. Каждая часть должна быть отрезком, то есть прямой линией с двумя концами, а конец одной части должен соединяться с началом следующей. Если где-то есть дуга или звенья не соединены, выбранная линия не подходит под определение ломаной. Такая проверка позволяет не спутать ломаную с любой декоративной линией узора.

Соседние звенья имеют общую вершину, потому что именно в этой точке путь переходит с одного отрезка на другой. Прослеживай ломаную от начала: дошёл до соединения — считай вершину и продолжай по следующему звену. Так ты видишь порядок частей и не перескакиваешь на соседнюю линию узора. Даже если в точке нет поворота, она всё равно показывает, где заканчивается одно звено и начинается другое.

Чтобы посчитать звенья, двигайся по линии в одном направлении и отмечай каждый пройденный отрезок один раз. Число вершин считай отдельно: у незамкнутой ломаной это точки соединения соседних звеньев, не включая два конца пути. Например, пять последовательных звеньев дают четыре внутренние точки соединения. Раздельный подсчёт помогает не принять конец звена за отдельную часть и не вернуться к уже учтённому отрезку.

Замкнутость определяют не по форме узора и не по наличию поворотов, а по расположению концов линии. Сравни начальную точку с конечной: если они совпали, путь замкнулся; если между ними остаётся расстояние, ломаная незамкнутая. Поэтому одна и та же по виду цепочка отрезков может стать замкнутой, если её последний конец соединить с первым. Сравнение концов — самый надёжный способ проверить это свойство.

Длина ломаной показывает, сколько составляет весь путь по её звеньям, поэтому нужно сложить длины всех отрезков. Сначала измерь звенья или используй данные в условии, затем сложи значения в одинаковых единицах измерения. Прямое расстояние от начала до конца не заменяет эту сумму: оно показывает лишь расстояние между двумя точками, а не длину пути с поворотами. Если пройти ломаную в обратном направлении, набор звеньев останется тем же, поэтому сумма не изменится.

Как описать ломаную на узоре

Сначала найди начало и конец пути, чтобы определить, в какой колонке искать описание. Затем считай звенья по одному обходу линии, не повторяя уже пройденные отрезки. Для длины в обоих случаях используют одно правило — складывают длины всех звеньев.

Разбор задач

Задача 1. На узоре выделена линия из пяти последовательно соединённых отрезков. Сколько у неё звеньев и вершин? Здесь сначала важно понять, что число отрезков уже дано, а вершины нужно считать только в местах соединения соседних звеньев. Линия незамкнутая, поэтому её начальный и конечный концы не прибавляем к вершинам.

1. Каждый отрезок — одно звено, значит, звеньев пять.
2. Проследи путь от первого звена к пятому. Между соседними звеньями находятся точки соединения: после первого, второго, третьего и четвёртого звена.
3. Получается четыре внутренние точки соединения, то есть четыре вершины.

Ответ: 5 звеньев и 4 вершины. Проверка: у цепочки из пяти звеньев между ними должно быть на одну внутреннюю точку соединения меньше, чем звеньев.

Задача 2. Определите, какая из двух выделенных линий узора замкнутая: у первой начало и конец совпадают, у второй — нет. Чтобы не отвлечься на форму или длину линий, сравним именно их крайние точки. Этот признак и определяет, замкнулась ли ломаная.

1. У первой линии отметь начальную точку и проследи путь до последнего звена.
2. Начало совпадает с концом, поэтому путь возвращается в исходную точку.
3. У второй линии точки начала и конца разные, значит, она не замкнута.

Ответ: замкнутая — первая линия. Вторая является незамкнутой.

Задача 3. Длины звеньев ломаной равны 2 см, 3 см, 2 см и 4 см. Найдите длину ломаной и объясните, изменится ли ответ, если пройти её в обратном направлении. Чтобы найти весь путь, нельзя выбирать только первое и последнее звенья: нужно учесть каждое из четырёх. Порядок обхода не влияет на то, какие отрезки входят в сумму.

1. Запиши длины всех звеньев: 2 см, 3 см, 2 см и 4 см.
2. Сложи их: 2 + 3 + 2 + 4 = 11.
3. При движении в обратном направлении звенья будут пройдены в обратном порядке, но их длины останутся прежними. Сумма тех же чисел равна 11.

Ответ: длина ломаной равна 11 см; при обратном обходе ответ не изменится.

Типичные ошибки

Ошибка — считать точки соединения звеньев концами незамкнутой ломаной. Их допускают, потому что слово «конец» можно связать с концом каждого отдельного отрезка. Но концами всей незамкнутой линии являются только её начало и завершение, а внутренние соединения — вершины. Проверь себя: пройди путь целиком и найди его две крайние точки.

Иногда точку соединения не считают вершиной, если соседние звенья лежат на одной прямой. Путаница возникает из-за привычки связывать вершину с поворотом. Однако вершина определяется соединением двух соседних звеньев, а не изменением направления. Для проверки посмотри, заканчивается ли в точке один отрезок и начинается ли другой.

При обходе узора можно случайно посчитать одно звено дважды, например, если начать новый подсчёт после поворота или пересечения линий. Чтобы этого не случилось, двигайся в одном выбранном направлении и отмечай уже учтённые отрезки. Пересечение линий само по себе не означает, что нужно повторить звено. Проверь, что каждому отрезку соответствует ровно одно число в подсчёте.

Ещё одна ошибка — принимать прямое расстояние между концами за длину ломаной. Такое расстояние не показывает, сколько пройдено по всем поворотам, а измеряет только путь напрямую между двумя точками. Для проверки выпиши длину каждого звена и сложи все значения. Если в вычислении осталось только одно расстояние между концами, длина ломаной ещё не найдена.

Связь с другими темами

Чтобы работать с ломаной, нужно уметь распознавать отрезки, находить их концы и измерять длину. При сложении звеньев важно использовать одинаковые единицы, например сантиметры. Понятия звена и вершины пригодятся при изучении многоугольников: их стороны тоже соединяются в общих точках. А знание длины ломаной помогает сравнивать пути на чертежах и узорах, когда путь состоит из нескольких прямых частей.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Каждый отрезок ломаной — её звено.
• Соседние звенья соединяются в вершине.
• У незамкнутой ломаной начало и конец не совпадают.
• У замкнутой ломаной начало совпадает с концом.
• Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев.