"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Деление помогает распределить количество поровну или узнать, сколько раз одна величина содержится в другой. В записи 24 : 6 число 24 — делимое, 6 — делитель, а результат — частное. Деление связано с умножением: умножив частное на делитель, можно проверить ответ. На ноль делить нельзя, а при делении с остатком остаток всегда меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель. Например, если 6 · 4 = 24, то 24 : 6 = 4. Деление нужно, чтобы узнать неизвестное число в таком умножении.
Делимое — число, которое делят. В записи 24 : 6 число 24 является делимым. Оно показывает всё количество, которое предстоит распределить или разделить на группы.
Делитель — число, на которое делят. В записи 24 : 6 делитель — это 6: он показывает, на сколько частей делят или сколько предметов кладут в каждую группу. Делитель не может быть нулём, потому что деление на ноль не определено.
Частное — результат деления; этим же словом называют запись деления, например 24 : 6. Здесь частное равно 4. Оно показывает, сколько предметов приходится на одну часть или сколько групп получилось, в зависимости от смысла задачи.
При делении на равные части известное количество предметов распределяют поровну между несколькими людьми или группами. Например, 12 конфет делят между 3 детьми: каждый получает одинаковое число конфет. Чтобы найти это число, подбирают такое значение, которое при умножении на число детей даст общее количество: 3 · 4 = 12. Поэтому 12 : 3 = 4.
Деление по содержанию отвечает на другой вопрос: сколько раз одна величина содержится в другой. Например, в 12 сантиметрах нужно посчитать количество отрезков длиной 3 сантиметра. Можно мысленно откладывать отрезки по 3 сантиметра, пока не получится вся длина. Поскольку 3 · 4 = 12, таких отрезков четыре, значит, 12 : 3 = 4.
Деление связано с умножением, потому что находит неизвестный множитель. Если частное подобрано верно, умножение частного на делитель возвращает исходное делимое. Например, для 35 : 5 = 7 проверка выглядит так: 7 · 5 = 35. Эта связь помогает заметить ошибку, даже если вычисления делением уже закончены.
Если ноль делят на ненулевое число, ответ равен нулю: например, 0 : 5 = 0. Проверка показывает, что 0 · 5 = 0, поэтому результат подходит. На ноль делить нельзя: не существует числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое. А для 0 : 0 подходит любое число в качестве множителя, поэтому единственного ответа тоже нет.
Иногда делимое не делится на делитель без остатка. Тогда находят неполное частное — число целых групп — и остаток, то есть то, что осталось. Остаток обязательно меньше делителя: иначе из него можно составить ещё одну группу. Например, при делении 17 на 5 получаются 3 целые группы и остаток 2, потому что 17 = 5 · 3 + 2, а 2 < 5.
| Случай | Запись | Что означает или чему равно | Условие |
|---|---|---|---|
| Деление на равные части | a : b | Сколько приходится на каждую часть | b частей, поровну |
| Деление по содержанию | a : b | Сколько раз b содержится в a | Размер каждой группы равен b |
| Ноль делят на ненулевое число | 0 : b = 0 | Ноль | b ≠ 0 |
| Деление с остатком | a = b · c + r | c — неполное частное, r — остаток | 0 ≤ r < b |
Сначала определите, о чём спрашивает задача: о количестве в каждой равной части или о числе групп заданного размера. Затем выберите подходящую строку и проверьте условия деления. Для деления с остатком используйте равенство из последней строки и убедитесь, что остаток меньше делителя.
Задача 1. Раздели 24 карандаша поровну между 6 учениками. Сколько карандашей получит каждый? Здесь известно общее количество и число равных частей. Значит, нужно найти, сколько приходится на одного ученика, и выполнить деление 24 : 6.
Ответ: каждый ученик получит 4 карандаша. Проверить ход решения можно умножением: если выдать каждому по 4 карандаша, всего получится 6 · 4 = 24. Это совпадает с числом карандашей в условии.
Задача 2. Найди частное 672 : 8 и проверь результат умножением. Удобно делить число по разрядам, каждый раз проверяя, сколько раз делитель помещается в очередной части числа. Полученные цифры частного записывают подряд, сохраняя их разряды.
Ответ: 672 : 8 = 84. Умножение вернуло делимое, значит, результат верен. При делении не осталось лишних единиц, поэтому остатка нет.
Задача 3. Раздели 157 на 12 с остатком и проверь ответ. Нужно найти наибольшее целое число, на которое можно умножить 12 так, чтобы произведение не превысило 157. Затем оставшуюся часть сравнивают с делителем: если она не меньше 12, можно выделить ещё одну группу.
Ответ: 157 : 12 = 13 (ост. 1). Равенство показывает, что делимое восстановлено правильно. Остаток меньше делителя, поэтому деление закончено.
Иногда меняют местами делимое и делитель. В записи a : b первым стоит число, которое делят, а вторым — число, на которое делят; перестановка обычно меняет ответ. Ошибку легко заметить, если перед вычислением прочитать запись словами и проверить ответ умножением на делитель.
Некоторые считают, что 0 : 0 = 0, потому что видят ноль в делимом. Но деление на ноль не определено при любом делимом, в том числе при нуле. Чтобы проверить себя, вспомни связь с умножением: здесь нельзя найти единственное число, которое при умножении на 0 даст 0.
При делении с остатком записывают остаток, равный делителю или больший него. Так бывает, если не заметить, что из остатка можно составить ещё одну полную группу. Проверь, меньше ли остаток делителя; если нет, увеличь неполное частное и выполни деление дальше.
Ещё одна ошибка — проверять деление с остатком только умножением неполного частного на делитель. Такое умножение показывает число предметов в полных группах, но не учитывает оставшиеся предметы. Для проверки прибавь остаток и убедись, что получено делимое: a = b · c + r.
Перед делением полезно знать таблицу умножения: она помогает быстро находить частное и проверять вычисления. Умножение означает нахождение произведения, а деление позволяет восстановить неизвестный множитель. В задачах на равное распределение деление показывает, сколько достанется каждому; в задачах на группы — сколько групп получится. Эта же связь с умножением помогает решать уравнения, в которых неизвестен один из множителей.
Как понять, когда в задаче нужно делить?
Деление нужно, если предметы распределяют поровну и хотят узнать, сколько достанется каждому. Оно также подходит, когда нужно определить, сколько групп заданного размера получится.
Почему деление связано с умножением?
Деление помогает найти неизвестный множитель, если известны произведение и другой множитель. Поэтому частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.
Можно ли делить на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя: такого частного не существует. Это верно и для записи 0 : 0.
Как проверить результат деления?
При делении без остатка умножь частное на делитель: должно получиться делимое. При делении с остатком умножь неполное частное на делитель и прибавь остаток.
Каким должен быть остаток при делении?
Остаток должен быть меньше делителя и не может быть отрицательным. Если он равен делителю или больше него, деление можно продолжить.
2.5. Деление
