"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Задачи о бассейне помогают понять связь между объёмом воды, производительностью труб и временем их работы. Нужно научиться находить, сколько воды поступает или вытекает за час, а затем учитывать совместное действие нескольких труб. При наполнении их производительности складываются, а при одновременном наполнении и сливе — вычитаются. Главная формула: время равно объёму работы, делённому на производительность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Производительность — объём воды, который труба подаёт или отводит за единицу времени. Например, 6 м³/ч означает, что за один час труба перемещает 6 м³ воды. Эта величина нужна, чтобы сравнивать скорость работы труб и находить общий результат.
Объём работы — количество воды, которое нужно набрать в бассейн или удалить из него. Обычно его обозначают буквой V и измеряют в литрах или кубических метрах. Зная этот объём, можно определить, сколько времени потребуется при известной производительности.
Время работы — промежуток, за который труба выполняет заданную часть работы. Его обозначают буквой t и выражают в часах, минутах или секундах. В задачах о бассейне время находят по объёму воды и тому, сколько воды перемещается за единицу времени.
Совместная работа — наполнение или опорожнение бассейна несколькими трубами одновременно. При одинаковом направлении работы производительности объединяют, а при противоположном учитывают разность. Это позволяет заменить действие нескольких труб одной общей производительностью.
Если бассейн имеет объём V, а труба подаёт q единиц объёма за час, то за t часов она подаст q · t воды. Чтобы получить весь объём бассейна, нужно разделить V на количество воды за один час: t = V : q. Поэтому время наполнения увеличивается при большем объёме и уменьшается при большей производительности.
Когда две трубы одновременно наполняют бассейн, каждая за один час добавляет свою часть воды. Например, одна подаёт q₁, а другая q₂, значит, вместе они подают q₁ + q₂. Производительности складываются потому, что вода от обеих труб поступает в бассейн в одном направлении и общий объём за час увеличивается.
Если одна труба наполняет бассейн, а другая выпускает воду, действия труб направлены противоположно. За час в бассейне становится больше на объём, поданный первой трубой, но меньше на объём, выпущенный второй. Поэтому общая производительность равна q₁ − q₂, если q₁ отвечает за наполнение и она больше q₂; иначе бассейн не будет наполняться.
Для уравнения сначала выразите производительность каждой трубы. Если первая наполняет бассейн за a часов, её производительность равна V : a, а если вторая делает это за b часов — V : b. При совместном наполнении записывают V : a + V : b = V : t, где t — искомое время; при сливе второй трубы знак между слагаемыми заменяют на минус.
Проверка состоит из двух частей. Единицы должны согласовываться: например, деление м³ на м³/ч даёт часы, а не кубические метры. Затем найденное время подставляют в формулу V = qобщ · t и проверяют, получается ли объём бассейна; при совместном наполнении оно также должно быть меньше времени работы каждой трубы по отдельности.
| Величина | Обозначение | Как находится |
|---|---|---|
| Объём воды | V | V = q · t |
| Производительность одной трубы | q | q = V : t |
| Время работы | t | t = V : q |
| Общая производительность при наполнении | qобщ | qобщ = q₁ + q₂ |
| Общая производительность при наполнении и сливе | qобщ | qобщ = q₁ − q₂ |
Сначала определите, какая величина известна, а какая требуется. Затем выберите формулу из третьего столбца и следите, чтобы единицы объёма и времени совпадали. При нескольких трубах сначала найдите общую производительность, а уже потом время.
Буквы q₁ и q₂ обозначают производительности первой и второй труб. Знак «плюс» используют при совместном наполнении, а знак «минус» — когда одна труба отводит воду.
Бассейн объёмом 120 м³ наполняется со скоростью 6 м³/ч. Нужно узнать время наполнения. Объём уже известен, поэтому достаточно разделить его на производительность.
Ответ: бассейн наполнится за 20 часов.
Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, вторая — за 15 часов. Удобно принять весь бассейн за 1, тогда производительность первой трубы равна 1/10 бассейна в час, а второй — 1/15. Их работа направлена одинаково, поэтому доли складываются.
Ответ: трубы наполнят бассейн вместе за 6 часов.
Через первую трубу бассейн наполняется за 8 часов, а через вторую вода вытекает за 12 часов. За час первая труба добавляет 1/8 бассейна, вторая убирает 1/12. Так как направления противоположны, из первой производительности нужно вычесть вторую.
Ответ: пустой бассейн наполнится за 24 часа.
Иногда складывают время работы труб, например 10 + 15. Так делают, путая продолжительность работы с количеством воды за час; при совместном наполнении складывать нужно производительности. Проверка: общий результат должен быть быстрее каждой трубы по отдельности.
При наполнении и сливе некоторые складывают производительности. Ошибка возникает из-за невнимания к направлениям движения воды: слив уменьшает количество воды, поэтому используется разность. Проверьте, увеличивается ли вода в бассейне после вычисления.
Часы и минуты иногда используют в одном вычислении без перевода. Это меняет скорость работы и приводит к неверному ответу. Перед решением приведите все значения времени к часам или минутам.
Бывает, что найденное время не проверяют по смыслу и единицам. При делении м³ на м³/ч должны получиться часы, а при совместном наполнении время обычно меньше времени каждой трубы. Подстановка в формулу V = qобщ · t быстро обнаруживает ошибку.
Для решения нужны деление величин, перевод единиц времени и объёма, а также нахождение части величины. Эти навыки помогают перейти от полного объёма бассейна к его доле, выполненной за один час.
Такие задачи связаны с задачами на движение и работу: везде есть результат, скорость его получения и время. Отличается только смысл величин — вместо расстояния или объёма выполненной работы рассматривается количество воды.
Условия о трубах удобно переводить в уравнения. Это пригодится при решении более сложных текстовых задач, где неизвестны производительность, время или объём.
Почему нельзя складывать время, за которое трубы наполняют бассейн?
Время показывает продолжительность работы, а не количество воды, поступающей за час. При совместной работе складывают производительности труб, потому что именно они показывают общий объём воды за единицу времени.
Как определить производительность трубы, если известно только время наполнения?
Если одна труба наполняет бассейн объёмом V за время t, её производительность равна q = V : t. Если за единицу принять весь бассейн, производительность можно записать как 1 : t бассейна в час.
Что делать, если одна труба наполняет бассейн, а другая выпускает воду?
Нужно из производительности трубы, которая наполняет бассейн, вычесть производительность трубы, которая выпускает воду. Разность показывает, сколько воды бассейн получает за единицу времени.
Как составить уравнение для задачи о двух трубах?
Сначала выразите производительность каждой трубы через объём бассейна и время её работы. Затем сложите производительности при совместном наполнении или вычтите производительность слива и приравняйте полученную общую производительность к V : t.
Как проверить, что найденное время имеет смысл?
Проверьте единицы измерения: объём разделите на объём в единицу времени, тогда получится время. Также подставьте найденное значение обратно и убедитесь, что общая производительность, умноженная на время, даёт объём бассейна.
В бассейне
