3. Вычисления с числами от 0 до 100

Определения и обозначения

Сложение — действие, при котором к одному числу прибавляют другое; результат называют суммой. Например, в записи 12 + 5 = 17 числа 12 и 5 — слагаемые, а 17 — сумма. Сложение используют, когда нужно узнать общее количество после объединения групп или прибавления новых предметов. Знак действия — +.

Вычитание — действие, обратное сложению; результат называют разностью. В записи 17 − 5 = 12 число 17 — уменьшаемое, 5 — вычитаемое, а 12 — разность. Это действие помогает узнать, сколько осталось, или на сколько одно число больше другого. Знак вычитания — −.

Умножение — сложение одинаковых слагаемых; результат называют произведением. Например, 4 · 3 означает сложить четыре тройки: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Умножение удобно, когда несколько равных групп нужно посчитать быстрее, чем складывать по одному. Знак умножения — ·.

Деление — действие, обратное умножению; результат называют частным. Например, 12 : 3 = 4 означает, что 12 разделили на группы по 3 и получили 4 группы. Деление помогает поровну распределить количество или узнать размер одной равной части. Знак деления — :.

Как это устроено

Двузначное число удобно представлять как сумму десятков и единиц: например, 47 = 40 + 7. Это связано с тем, что позиция цифры определяет её значение: 4 в числе 47 обозначает четыре десятка, а 7 — семь единиц. Такое разложение позволяет считать отдельно частями, которые имеют одинаковый разряд. Оно также помогает не спутать, например, 40 и 4.

При сложении двузначных чисел сначала складывают единицы, затем десятки. Так поступают потому, что единицы можно объединять с единицами, а десятки — с десятками. Если сумма единиц равна десяти или больше, десять из них составляют один десяток, который прибавляют к разряду десятков. Например, 28 + 17: единицы 8 + 7 дают 15, то есть 1 десяток и 5 единиц.

Вычитая двузначные числа, тоже действуют по разрядам: сначала единицы, затем десятки. Если единиц уменьшаемого меньше, чем единиц вычитаемого, их не хватает для вычитания. Тогда один из имеющихся десятков можно представить как десять единиц: общее число не меняется, ведь 1 десяток равен 10 единицам. После размена десятков остаётся на один меньше, и это нужно учесть в вычислении.

Умножать числа в пределах 100 помогает таблица умножения: в ней можно найти произведение известных множителей. Она основана на сложении одинаковых слагаемых, поэтому, например, 4 · 6 — это четыре группы по шесть. Деление связано с умножением: чтобы найти 24 : 6, нужно вспомнить, какое число при умножении на 6 даёт 24. Если такого целого числа нет, деление не выполняется нацело.

Обратное действие позволяет проверить вычисление: сложение проверяют вычитанием, а вычитание — сложением; умножение проверяют делением, деление — умножением. Например, если 32 + 45 = 77, то проверка 77 − 45 должна дать 32. Кроме проверки вычислением, полезно заранее оценить порядок результата. При сложении ответ должен быть больше каждого слагаемого, а при вычитании из большего числа меньшего разность должна быть меньше уменьшаемого.

Действия с числами от 0 до 100

Пользуйся таблицей как кратким планом вычислений: сначала определи действие, затем выбери подходящий способ. Последний столбец напоминает, каким обратным действием проверить ответ. Для сложения и вычитания следи за разрядами, а для умножения и деления используй связь действий.

Разбор задач

Вычислите 32 + 45. Чтобы не складывать цифры с разными значениями, представим каждое число как сумму десятков и единиц. Затем объединим десятки отдельно от единиц и сложим полученные части. В конце проверим, что итог больше каждого из слагаемых.

1. Разложим числа: 32 = 30 + 2, 45 = 40 + 5.
2. Сложим десятки: 30 + 40 = 70.
3. Сложим единицы: 2 + 5 = 7. Объединим результаты: 70 + 7 = 77.

Ответ: 77. Проверим обратным действием: 77 − 45 = 32. Проверка верна, а сумма больше обоих слагаемых, как и должно быть.

Вычислите 64 − 28. В разряде единиц нельзя сразу вычесть 8 из 4, поэтому разменяем один десяток. При этом 64 не изменится: вместо шести десятков и четырёх единиц получим пять десятков и четырнадцать единиц. После размена можно выполнять вычитание по разрядам.

1. Представим 64 как 5 десятков и 14 единиц.
2. Вычтем единицы: 14 − 8 = 6.
3. Вычтем десятки: 5 − 2 = 3. Получаем 36.

Ответ: 36. Проверим сложением: 36 + 28 = 64. Значит, разность найдена верно; она меньше уменьшаемого, что соответствует вычитанию положительного числа.

В школьную библиотеку привезли 4 коробки по 18 книг, а затем раздали 27 книг. Сколько книг осталось? Сначала узнаем, сколько книг привезли всего: в каждой из четырёх коробок по 18 книг. Затем вычтем раздали книги, потому что после этого их стало меньше. Значит, выражение имеет вид 4 · 18 − 27.

1. Найдём количество книг в коробках: 4 · 18 = 4 · (10 + 8) = 40 + 32 = 72.
2. Вычтем раздали: 72 − 27. Разменяем десяток: 6 десятков и 12 единиц; 12 − 7 = 5, 6 − 2 = 4, значит, 72 − 27 = 45.
3. Проверим промежуточное действие: 45 + 27 = 72. Полученное число обозначает книги, которые остались после раздачи.

Ответ: 45 книг. Число меньше начального количества 72, потому что часть книг раздали. В выражении сначала выполнено умножение, затем вычитание.

Типичные ошибки

• Складывают или вычитают цифры без учёта разрядов. Так происходит, если воспринимать цифры как отдельные числа и забывать, что десятки в десять раз больше единиц. Проверяй разложением: например, 47 — это 40 + 7, а не просто 4 и 7.
• При сложении единиц получают двузначное число, но не переносят десяток. Обычно замечают только цифру единиц в сумме и забывают, что оставшиеся десять единиц стали десятком. Проверь сложение разложением на десятки и единицы: например, 8 + 7 = 15 = 10 + 5.
• При вычитании разменяют десяток, но не уменьшают число десятков на единицу. Это происходит, когда ученик добавляет десять единиц, не заменяя ими часть десятков. После размена пересчитай число: например, 64 превращается в 5 десятков и 14 единиц, а не в 6 десятков и 14 единиц.
• Делят числа, не проверяя, подходит ли выбранный делитель без остатка. Можно неверно вспомнить таблицу умножения или подобрать частное наугад. Умножь частное на делитель: результат должен совпасть с делимым, иначе вычисление нужно пересмотреть.

Связь с другими темами

Для вычислений с числами до 100 нужно знать состав двузначных чисел, разряды десятков и единиц и таблицу умножения. Эти знания объясняют, почему числа раскладывают на части и как находят произведения и частные. Освоенные способы пригодятся при решении текстовых задач и работе с величинами. Позже те же приёмы помогут выполнять действия с многозначными числами и дробями.

Что запомнить

• Двузначное число можно разложить на десятки и единицы.
• При сложении и вычитании важно учитывать разряды.
• Десять единиц составляют один десяток.
• Умножение связано со сложением одинаковых слагаемых.
• Деление проверяют умножением.
• Обратное действие помогает проверить вычисление.