"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Буквенное выражение состоит из чисел, букв и знаков действий и помогает записать правило сразу для разных чисел. Например, периметр прямоугольника можно выразить через длины его сторон. Чтобы получить конкретный результат, нужно задать значения букв и подставить их в запись. При вычислениях сохраняют порядок действий, а отрицательные числа обычно заключают в скобки. Для некоторых выражений допустимы не все значения переменных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Буквенное выражение — запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок. В числовом выражении букв нет: например, 7 + 3 — числовое выражение, а 7 + a — буквенное. Буква позволяет оставить число неизвестным или изменяемым. Поэтому одной записью можно описать сразу несколько вычислений.
Переменная — буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. Например, в выражении 2x + 1 переменной является x. Если одна и та же буква встречается несколько раз, везде она обозначает одно и то же число. Это позволяет выполнять слагаемые согласованно и не путать значения.
Значение буквенного выражения — число, которое получается, когда вместо букв подставляют заданные числа и выполняют действия. Например, при a = 2 значение выражения 3a + 5 равно 11. Значение показывает результат для выбранных чисел. При других значениях букв результат может измениться.
Подстановка значения переменной — замена буквы соответствующим числом в выражении. Если подставляют отрицательное число, его обычно записывают в скобках: при x = −2 выражение x² превращается в (−2)². Скобки показывают, что знак минус относится к числу целиком. Так легче сохранить смысл записи и не ошибиться при вычислении.
Буквенная запись помогает кратко описать правило, которое подходит для разных случаев. Например, если стороны прямоугольника равны a и b, его периметр можно записать как 2(a + b): сначала складываются длины соседних сторон, затем сумма удваивается. Для прямоугольника со сторонами a и a + 3 запись принимает вид 2(a + a + 3). Вместо описания каждого такого прямоугольника словами достаточно изменить значение буквы.
Буквенное выражение задаёт общий способ вычисления, а не обязательно одно готовое число. В выражении 3a + 5 буква a может принимать разные допустимые значения, и для каждого получится свой результат. Пока значение a не задано, вычислить выражение до конкретного числа нельзя. Зато саму запись можно использовать для любого подходящего случая.
Чтобы найти значение выражения, сначала заменяют каждую букву заданным числом, а затем выполняют действия в установленном порядке. Например, в записи 3a + 5 при a = 2 сначала получают 3 · 2 + 5, затем умножают и складывают. Порядок действий не меняется от того, что раньше в выражении была буква. Скобки, степени, умножение и деление учитывают по обычным правилам.
Отрицательное значение переменной при подстановке заключают в скобки, потому что минус является частью подставляемого числа. Например, если x = −2, то x² записывают как (−2)² и получают 4. Без скобок запись −2² означает противоположное числу 2², то есть −4. Скобки помогают ясно показать, что именно возводится в квадрат.
Перед подстановкой нужно проверить, допустимо ли выбранное значение переменной. В выражении 1/(x − 2) при x = 2 знаменатель становится равен нулю, а делить на ноль нельзя. Значит, x = 2 исключают, хотя другие значения могут подходить. Такая проверка особенно нужна, если в выражении есть дробь с переменной в знаменателе.
| Что рассматриваем | Обозначение или пример | Что означает | Что сделать для вычисления |
|---|---|---|---|
| Числовое выражение | 7 + 3 | Запись только из чисел и знаков действий | Выполнить действия по порядку |
| Буквенное выражение | 3a + 5 | Способ вычисления с переменной | Задать значение буквы и подставить его |
| Значение переменной | a = 2 | Число, обозначенное буквой в данном случае | Использовать это число вместо буквы |
| Значение буквенного выражения | 3 · 2 + 5 = 11 | Результат после подстановки и вычислений | Выполнить действия, соблюдая их порядок |
| Ограничение на значение переменной | 1/(x − 2), x ≠ 2 | Запрет на значения, при которых знаменатель равен нулю | Проверить знаменатель до подстановки |
Используй таблицу как маршрут: сначала определи, есть ли в записи буквы, затем выясни, какие значения им заданы. После подстановки вычисли результат по обычным правилам. Если в выражении есть дробь, сначала убедись, что выбранное значение не обращает знаменатель в ноль.
Нужно заменить букву числом 2, а затем вычислить получившуюся числовую запись. Сначала выполняется умножение, затем сложение. Поэтому нельзя сначала складывать 3 и 5: они не заключены в общие скобки.
Ответ: 11.
Заменяем обе буквы x одним и тем же числом −2. Каждую подстановку отрицательного числа записываем в скобках, чтобы знак минус относился к числу. Сначала вычисляем степень и умножение, потом вычитание.
Ответ: 14.
Периметр — сумма длин всех сторон. У прямоугольника две стороны равны a, а две другие равны a + 3, поэтому складываем обе пары. После записи общего правила подставляем a = 4; так находим конкретный периметр.
Ответ: P = 4a + 6; при a = 4 периметр равен 22.
При подстановке отрицательного числа иногда забывают скобки: вместо (−2)² пишут −2² и получают −4. Так происходит, потому что знак минус ошибочно воспринимают как часть возведения в квадрат. Проверяй, какое число стоит под степенью: если минус относится к переменной, подставляй всё число в скобках. В примере со квадратом результат должен быть положительным.
Ещё одна ошибка — считать, что одна буква в разных частях выражения обозначает разные числа. Например, в x² − 3x при x = 2 в оба места нужно подставить 2. Путаница возникает, когда каждую часть считают отдельно, не удерживая заданное значение. Проверь, что во всех местах с одной буквой использовано одно и то же число.
После подстановки можно нарушить порядок действий, например сложить раньше, чем выполнить умножение. Причина — внимание сосредоточено на появившихся числах, и правила вычислений забываются. Перепиши выражение с подставленными значениями и расставь действия по обычному порядку. Затем проверь вычисления отдельно по шагам.
Нельзя подставлять число, при котором знаменатель дроби равен нулю. Такое значение иногда выбирают, не проверив дробь до вычислений. Найди знаменатель и реши, при каком значении он обращается в ноль; это значение исключи. Например, для 1/(x − 2) запрещено x = 2.
Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно уверенно выполнять действия с натуральными, целыми и дробными числами. Также пригодятся порядок действий и правила раскрытия скобок. Именно эти правила применяются после того, как вместо букв подставлены числа. Если вычисления с числами выполняются неверно, буквенная запись сама по себе не исправит результат.
Буквенные выражения служат основой для записи формул, преобразования выражений и решения уравнений. Формула показывает связь между величинами, а выражение помогает вычислить одну из них по известным данным. При преобразовании запись меняют, сохраняя её значение. В уравнении буквенная часть участвует в поиске неизвестного числа.
Чем буквенное выражение отличается от числового?
В числовом выражении есть только числа и знаки действий, а в буквенном присутствуют ещё и буквы. Буквы обозначают числа, поэтому для вычисления буквенного выражения нужно знать их значения.
Может ли буква в выражении обозначать любое число?
Не всегда: это зависит от самого выражения и условия задачи. Например, в дроби 1/(x − 2) переменная x не может быть равна 2, потому что тогда знаменатель станет нулём.
Как правильно подставить отрицательное число вместо буквы?
Запиши отрицательное число в скобках на месте буквы. Например, при x = −2 выражение x² записывают как (−2)², иначе можно ошибиться со знаком и получить −4 вместо 4.
Нужно ли всегда вычислять буквенное выражение до конца?
Нет. Если значения букв не заданы, выражение можно оставить в буквенном виде: оно задаёт общий способ вычисления. Результат в виде конкретного числа получают после подстановки значений переменных.
Почему некоторые значения переменной нельзя подставлять?
Потому что при таких значениях выражение может потерять смысл. Например, делить на ноль нельзя, поэтому значение переменной, обращающее знаменатель дроби в ноль, недопустимо.
4*. Буквенные выражения
