"Математика (изд. "ДРОФА")", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Буквенное выражение — это запись с числами, буквами и знаками действий, например 3a + 7. Буква обозначает число, которое может меняться, поэтому одна запись помогает описать сразу много случаев. Чтобы узнать значение выражения, подставляют вместо букв заданные числа и выполняют действия по порядку. Так записывают правила, составляют формулы и решают задачи о величинах, которые зависят от разных чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Буквенное выражение — запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок. Например, 3a + 7 — буквенное выражение: в нём есть число 3, буква a и знак сложения. Это понятие нужно, чтобы коротко записывать вычисления, в которых участвуют неизвестные или меняющиеся числа.
Переменная — буква, которая обозначает некоторое число и может принимать разные значения. В выражении 3a переменная — a: вместо неё можно подставить, например, 2 или 5. Переменные помогают использовать одну запись для разных ситуаций, а не составлять отдельное выражение для каждого числа.
Значение переменной — число, подставленное вместо буквы. Запись a = 4 сообщает, что в данном случае вместо a нужно взять 4. Это нужно, чтобы перейти от общего выражения к вычислениям для конкретной задачи.
Значение буквенного выражения — число, полученное после подстановки значений переменных и выполнения действий. Если a = 4, то выражение 3a + 7 превращается в 3 · 4 + 7, а его значение равно 19. Так находят результат для заданных чисел.
Буквы используют вместо неизвестных или изменяющихся чисел, чтобы записывать общее правило сразу для многих случаев. Например, если к числу a прибавить 8, получится a + 8 независимо от того, чему равна переменная. Подставив разные числа, можно описать разные примеры одной записью. Это удобно в задачах, где величины меняются, но связь между ними остаётся прежней.
Буквенное выражение строится из чисел, переменных и знаков арифметических действий с соблюдением обычного порядка действий. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание, если в задаче не указано иначе. Такой порядок нужен, чтобы одна и та же запись всегда давала одинаковый результат. Например, скобки в 2(a + 3) показывают, что сначала нужно сложить a и 3, а затем умножить сумму на 2.
Чтобы найти значение выражения, сначала вместо каждой буквы подставляют указанное число, а затем вычисляют получившееся числовое выражение. Подстановка превращает запись с буквами в знакомую запись только с числами. Например, при x = 6 выражение 4x − 3 становится 4 · 6 − 3. Затем выполняют умножение и вычитание по порядку действий.
Если между числом и буквой знак умножения не написан, подразумевается умножение: 5a означает 5 · a. Такую запись используют, потому что она короче и удобнее для чтения. При подстановке знак умножения можно записать явно: если a = 2, то 5a = 5 · 2. Буква и число рядом не становятся одним числом и не означают сложение.
Одно и то же буквенное выражение может иметь разные значения при разных значениях входящих в него переменных. Например, если в выражении a + 8 вместо a взять 2, получится 10, а если взять 5 — получится 13. Меняется подставленное число, поэтому меняется и результат вычисления. Само правило, записанное выражением, при этом остаётся тем же.
| Элемент | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Буквенное выражение | Запись с буквами и арифметическими действиями | 3a + 7 |
| Переменная | Буква, обозначающая число | a |
| Коэффициент | Числовой множитель при букве | 3 в выражении 3a |
| Подстановка значения | Замена буквы указанным числом | a = 4: 3a + 7 → 3 · 4 + 7 |
| Значение выражения | Результат вычисления после подстановки | 3 · 4 + 7 = 19 |
Сначала найди в таблице переменную и посмотри, какое число дано для неё. Затем замени букву этим числом и вычисли полученную запись по порядку действий. Строки про подстановку и значение выражения показывают разные этапы: замену буквы и готовый результат.
Слово «сумма» означает, что числа нужно сложить. Первое слагаемое уже обозначено буквой a, а второе равно 8. Значит, достаточно записать эти числа со знаком сложения.
Ответ: a + 8.
Задано конкретное значение переменной, поэтому заменяем x числом 6. Между 4 и x подразумевается умножение, значит после подстановки получим 4 · 6 − 3. Сначала нужно выполнить умножение, а затем вычитание.
Ответ: 21.
Периметр — это сумма длин всех сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют длину a, а две другие — 5 см. Можно сложить все четыре стороны или сложить длину и ширину и умножить сумму на 2.
Ответ: формула P = 2a + 10; при a = 7 периметр равен 24 см.
Переменную иногда принимают за значение выражения. Но буква обозначает число, а значение выражения — это результат после подстановки и вычислений. Такая путаница возникает потому, что и там и там речь идёт о числах. Проверь себя: можешь ли ты отдельно назвать, что подставил, и что получил в конце?
Можно заменить только первое вхождение буквы, забыв про остальные. Например, при подстановке в a + 2a заменить нужно обе буквы a на одно и то же число. Ошибку допускают, когда читают выражение слева направо и теряют повтор. Проверь, встретилась ли та же буква ещё раз, прежде чем выполнять действия.
Запись 4a иногда ошибочно читают как число 4 или как сумму 4 + a. На самом деле это произведение 4 · a: знак умножения между числом и буквой обычно не пишут. Такое сокращение непривычно, поэтому полезно мысленно поставить точку умножения. После подстановки числа умножение можно записать явно.
После подстановки числа иногда нарушают порядок действий, особенно если есть скобки и умножение. Например, в 2(3 + 1) сначала считают сумму в скобках, а не умножают 2 на 3 и сразу прибавляют 1. Ошибка появляется, если спешить и считать только слева направо. Проверь решение, отмечая скобки и выполняя действия в принятом порядке.
Для работы с буквенными выражениями нужно знать названия компонентов арифметических действий, например слагаемых и множителей. Также понадобится порядок действий и понимание того, что показывают скобки. Эти знания помогают правильно читать выражения и считать после подстановки чисел.
Буквы позволяют составлять формулы периметра, площади, пути и других величин. Формула показывает, как одна величина связана с другими, а подстановка помогает найти конкретное значение. Так можно описать правило сначала в общем виде, а затем применить его к данным задачи.
Буквенные выражения подготавливают к изучению уравнений и преобразований выражений. В уравнениях буква также обозначает число, которое нужно найти, а при преобразованиях учатся менять запись, сохраняя её значение. Уверенная подстановка и вычисления станут основой для этих тем.
Чем буквенное выражение отличается от числового?
В числовом выражении есть числа и знаки действий, например 3 + 7. В буквенном выражении есть ещё и буква, обозначающая число, например 3a + 7. После подстановки числа вместо буквы буквенное выражение становится числовым.
Почему в записи 7a не ставят знак умножения?
В математике знак умножения между числом и буквой обычно опускают, чтобы запись была короче. Поэтому 7a означает 7 · a. Это не сложение.
Что делать, если одна и та же буква встречается несколько раз?
Вместо каждого вхождения этой буквы нужно подставить одно и то же заданное число. Например, при a = 3 выражение a + 2a превращается в 3 + 2 · 3. Нельзя заменять одинаковые буквы разными числами в одном выражении.
Можно ли подставлять вместо буквы любое число?
Обычно можно подставить любое число, если в условии не указаны ограничения. Иногда отдельные значения не подходят, например делить на ноль нельзя. Поэтому сначала проверь, есть ли в задаче условия для переменной.
Как не перепутать значение переменной со значением выражения?
Значение переменной — это число, которое подставляют вместо буквы, например a = 4. Значение выражения — результат вычислений после подстановки: при a = 4 выражение 3a + 7 имеет значение 19. Это разные числа и разные понятия.
Буквенные выражения
