2.13. Буквенные выражения

Определения и обозначения

Буквенное выражение — это запись, в которой числа и буквы соединены знаками арифметических действий. Буквы в такой записи обозначают числа. Например, a + 7 — буквенное выражение: вместо a можно подставить число, заданное условием.

Буква в выражении обозначает число, значение которого может быть задано условием. Если вместо одной и той же буквы подставлять разные числа, результат выражения может меняться. Это обозначение удобно, когда число заранее неизвестно или может быть разным.

Значение буквенного выражения — число, полученное после подстановки вместо букв заданных чисел и выполнения действий. Например, если в a + 7 вместо a поставить 3, значение выражения будет 10. Понятие значения помогает отличать саму запись от результата вычислений.

Подстановка значения буквы — замена буквы соответствующим числом перед вычислением выражения. Если дана запись 5x и сказано, что x = 2, вместо x записывают 2. Подстановка нужна, чтобы превратить буквенное выражение в числовое и найти его значение.

Как это устроено

Буквенная запись помогает коротко передать правило, которое подходит для разных чисел. Например, у квадрата все четыре стороны равны, поэтому его периметр — сумма четырёх одинаковых сторон. Если длина стороны равна a, эту сумму записывают как 4a, то есть 4 · a. Такая запись короче, чем перечисление сторон, и подходит при любом допустимом значении a.

Чтобы составить выражение по словесному условию, сначала выясни, какие величины известны и что требуется описать. Затем определи, как эти величины связаны: нужно ли их сложить, умножить или выполнить другое действие. Например, сумма числа a и числа 7 означает сложение, поэтому запись будет a + 7. Выбор действия зависит от смысла условия, а не от того, какая буква в нём использована.

Буквенное выражение может задавать целый набор чисел, потому что его результат зависит от значений букв. В записи a + 7 при a = 1 получится 8, а при a = 5 получится 12. Само выражение при этом не изменилось — изменилось число, поставленное вместо буквы. Поэтому, если значения букв не заданы, обычно нельзя получить единственный числовой ответ.

Чтобы найти значение выражения, сначала подставь вместо букв заданные числа, а потом вычисляй. Например, в записи 5x − 3 при x = 4 сначала получаем 5 · 4 − 3, а затем выполняем умножение и вычитание. Результат будет 17. Такой порядок нужен, потому что подстановка сама по себе ещё не завершает вычисление.

Если одна и та же буква встречается несколько раз, заменяй каждое её вхождение тем же числом. Иначе в записи окажутся разные значения одной и той же величины, и вычисление перестанет соответствовать условию. При подстановке также сохраняй знаки и скобки: они показывают, какие действия и в каком порядке нужно выполнить. Например, скобки нельзя убирать, если они были в исходном выражении.

Числовые и буквенные выражения

Сравнивая выражения, сначала посмотри, есть ли в записи буквы. Затем проверь, нужны ли дополнительные данные для вычисления. Таблица помогает понять, почему буквенную запись нельзя вычислить до подстановки значения буквы.

Разбор задач

Запиши выражением сумму числа a и числа 7.

1. Выясним, какие величины участвуют: это число a и число 7. Буква обозначает одно из слагаемых, а число 7 — другое.

2. Слово «сумма» означает, что числа нужно сложить. Значит, между ними ставим знак плюс и записываем a + 7.

Ответ: a + 7. Запись 7a здесь не подходит: она обозначает умножение, а в условии требуется сложить числа.

Найди значение выражения 5x − 3 при x = 4.

1. Заменим x числом 4 во всём выражении. Получим 5 · 4 − 3; знак умножения показываем явно, чтобы было видно, что 5 умножается на значение x.

2. Сначала выполним умножение: 5 · 4 = 20. Вычитание выполняем после него, так как умножение имеет более высокий порядок.

3. Вычтем 3 из 20: 20 − 3 = 17. Значит, после подстановки и выполнения действий найдено значение исходного выражения.

Ответ: 17.

У прямоугольника стороны a и b. Запиши выражение для периметра и найди его значение при a = 6 см, b = 3 см.

1. Периметр — это сумма длин всех сторон. У прямоугольника две стороны имеют длину a, а две другие — длину b, поэтому можно записать a + b + a + b.

2. Сгруппируем одинаковые слагаемые: a + a = 2a и b + b = 2b. Получаем выражение 2a + 2b, которое короче показывает ту же сумму четырёх сторон.

3. Подставим значения a = 6 см и b = 3 см в каждое вхождение букв: 2 · 6 + 2 · 3. Сначала умножим: 12 + 6, затем сложим полученные длины.

4. Вычислим 12 + 6 = 18. Единица измерения — сантиметры, потому что стороны прямоугольника заданы в сантиметрах.

Ответ: периметр равен 2a + 2b; при заданных значениях он равен 18 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать букву знаком умножения или отдельным действием. Так можно решить, например, что в записи 5a буква означает знак между числами, хотя она обозначает число. Проверяй себя: проговори запись словами — 5a читается «пять умножить на a».

Ошибка: подставить число только вместо одного из нескольких вхождений одной буквы. Это часто происходит, когда ученик замечает не все буквы в длинной записи. Перед вычислением просмотри выражение целиком и замени каждое вхождение одинаково.

Ошибка: изменить порядок действий после подстановки или не учесть скобки. Знакомые числа могут отвлечь и заставить считать слева направо без проверки правил. Чтобы проверить себя, сначала запиши выражение с подставленными числами, сохранив все скобки и знаки, и только потом вычисляй.

Ошибка: записать сумму чисел a и 7 как 7a. Эту запись допускают, если путают соседство числа и буквы со сложением, но 7a означает произведение. Сверь действие в условии: слово «сумма» требует знака плюс, поэтому верная запись — a + 7.

Связь с другими темами

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно уметь читать числовые выражения, выполнять арифметические действия и соблюдать порядок действий. Эти знания помогают правильно вычислить результат после подстановки. Буквенные записи пригодятся для выражения свойств арифметических действий и составления формул периметра и площади. Позже подстановка значений букв будет нужна при изучении формул, уравнений и зависимостей между величинами.

Что запомнить

• Буква в выражении обозначает число.
• Буквенное выражение может иметь разные значения при разных значениях букв.
• Чтобы найти значение выражения, подставь заданные числа вместо букв.
• Если буква встречается несколько раз, замени каждое её вхождение.
• После подстановки выполняй действия по установленному порядку.
• Запись 5a означает произведение числа 5 и числа a.