"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Числовое выражение — это запись из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Чтобы найти его значение, нужно выполнить все действия в установленном порядке: сначала в скобках, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняют слева направо. Это правило помогает вычислять выражения без путаницы и получать один и тот же правильный результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и, возможно, скобок. Например, 14 + 6 · 2 и (14 + 6) · 2 — числовые выражения. По такой записи можно выполнить вычисления, но порядок действий в этих двух примерах различается. Умение распознавать выражение помогает понять, какие действия предстоит выполнить.
Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Например, значение выражения 8 + 5 равно 13. Пока действия не выполнены, перед нами только запись, а не окончательный ответ. Это понятие нужно, чтобы отличать само выражение от результата вычислений.
Порядок действий — установленная последовательность, в которой выполняют операции в выражении. Например, в записи 4 + 3 · 2 сначала умножают, а затем складывают. Такое правило подсказывает, с какого действия начать, и помогает разным людям получить одинаковый ответ.
Скобки — знаки, которые выделяют часть выражения для выполнения в первую очередь. В выражении (4 + 3) · 2 сначала складывают числа в скобках, а после умножают результат на 2. Скобки нужны, чтобы явно задать, какие действия должны повлиять на дальнейшие вычисления раньше остальных.
Выражение вычисляют не одним скачком, а по шагам: выполненное действие заменяют его результатом. Например, в 12 + 4 · 3 сначала находят 4 · 3 и получают 12 + 12, а затем складывают. Каждый новый шаг упрощает запись, не меняя её значения. Поэтому полезно переписывать выражение после каждого действия: так легче заметить ошибку и не потерять числа.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, чтобы запись без скобок понималась однозначно. Если бы все знаки имели одинаковую очередь, выражение 2 + 3 · 4 можно было бы прочитать двумя способами: сначала сложить или сначала умножить. Установленное правило оставляет один способ: сначала вычислить произведение, затем прибавить 2. Именно поэтому не всегда можно действовать просто слева направо.
Сложение с вычитанием относятся к одной ступени, как и умножение с делением. Внутри одной ступени нет отдельного правила «всегда сначала сложение» или «всегда сначала деление». Очередность определяет расположение знаков: действие, которое стоит левее, выполняют раньше. Например, в 20 : 5 · 2 сначала делят 20 на 5, а потом умножают результат на 2.
Скобки меняют последовательность вычислений, потому что задают часть выражения, которую нужно закончить первой. Если в скобках есть несколько действий, к ним применяют те же правила очередности. Только после того, как значение выражения в скобках найдено, его используют в оставшейся части записи. При нескольких скобках сначала разбирают внутренние, а затем внешние.
В сложном выражении удобно отметить, какое действие будет первым, вторым и следующим, а потом записывать промежуточные результаты. Номера можно поставить над знаками или просто мысленно проследить очередь, но каждое действие должно быть выполнено только после предыдущего по правилу. Если в выражении есть скобки, помечают действия внутри них; далее отмечают умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Такая проверка помогает не перескакивать к удобному, но неподходящему действию.
| Действия | Когда выполнять | Правило выполнения | Пример |
|---|---|---|---|
| Действия в скобках | В первую очередь | Вычислить выражение внутри скобок, соблюдая общий порядок действий | (5 + 3) · 2: сначала 5 + 3 |
| Умножение и деление | После действий в скобках, до сложения и вычитания | Выполнять слева направо | 18 : 3 · 2: сначала 18 : 3 |
| Сложение и вычитание | После умножения и деления | Выполнять слева направо | 14 − 5 + 2: сначала 14 − 5 |
| Действия одной ступени | Когда в выражении есть несколько действий одного уровня | Соблюдать порядок слева направо: сложение с вычитанием, умножение с делением | 16 : 4 · 3: сначала деление |
Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь скобки, затем найди умножение и деление, после — сложение и вычитание. В каждой строке с действиями одной ступени следи за расположением знаков слева направо. Если после вычисления промежуточного результата в выражении остались действия, продолжай по тому же правилу.
Задача 1. Вычислите 37 + 18 − 9. Здесь есть только сложение и вычитание, а эти действия относятся к одной ступени. Поэтому начинаем с действия, расположенного левее, а затем выполняем следующее. Записываем промежуточный результат, чтобы было видно, какое действие уже сделано.
Ответ: 46. Сначала считать 18 − 9 нельзя, потому что это означало бы выполнить действие правее раньше действия той же ступени.
Задача 2. Вычислите 48 − 6 · 5. В выражении есть вычитание и умножение, но они стоят на разных ступенях. Умножение выполняют раньше вычитания, даже если знак вычитания записан левее. После умножения остаётся обычная разность, которую можно вычислить.
Ответ: 18. Если бы мы сначала вычли 48 − 6, то нарушили бы порядок действий и получили бы значение не исходного выражения.
Задача 3. Вычислите 72 : (8 + 4) + 3 · 5. Скобки показывают, что сначала нужно найти сумму 8 и 4. Затем в записи останутся деление, умножение и сложение; сначала выполнятся деление и умножение, а сложение будет последним. Два действия одной ступени в оставшейся записи нужно выполнять слева направо.
Ответ: 21. Скобки обработали первыми, а сложение оставили напоследок. Запись шагов позволяет убедиться, что ни одно действие не пропущено.
Ошибка: выполнять все действия строго слева направо. Так делают, потому что при сложении и вычитании такой порядок действительно работает, но он не учитывает приоритет умножения и деления. Например, в 7 + 2 · 3 сначала нужно умножить, а не складывать 7 и 2. Проверь себя: до сложения и вычитания должны быть выполнены все умножения и деления.
Ошибка: считать, что деление всегда раньше умножения или наоборот. Эти действия одной ступени, поэтому постоянного первенства у одного знака нет. Например, в 24 : 6 · 2 сначала выполняют деление, потому что оно расположено левее умножения. Проверь, какие знаки стоят в записи слева направо.
Ошибка: начинать с действия вне скобок, пока внутри ещё есть вычисления. Иногда внешнее действие кажется проще, но скобки требуют сначала найти значение выделенной части. Например, в 3 · (4 + 2) сначала складывают в скобках. Перед вычислением проверь, остались ли в выражении незакрытые действия в скобках.
Ошибка: потерять или неверно перенести промежуточный результат. Это случается, когда переписывают выражение не полностью или заменяют не то действие. Например, после вычисления 6 · 5 в выражении 48 − 6 · 5 должно остаться 48 − 30. Сверь каждую новую строку с предыдущей: измениться должно только выполненное действие.
Чтобы вычислять числовые выражения, нужно уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Если сами вычисления пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить эти действия. Правило порядка действий пригодится и дальше: по нему вычисляют выражения с дробями и степенями, а также подставляют числа в формулы. Поэтому порядок действий связывает отдельные арифметические умения в общий способ решения.
Почему в выражении без скобок нельзя всегда считать слева направо?
Потому что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Например, в выражении 2 + 3 · 4 сначала умножают 3 на 4, а затем прибавляют 2. Если идти слева направо, получится неверный результат.
Что выполнять первым — умножение или деление?
Умножение и деление относятся к одной ступени, поэтому одно из них не имеет постоянного преимущества. Если в выражении есть оба действия, их выполняют по порядку слева направо.
Как определить, с какого действия начать вычисления?
Сначала найди действия в скобках и выполни их. Затем выполняй умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание слева направо. Если скобок несколько, начинай с действий во внутренних скобках.
Зачем ставят скобки в числовом выражении?
Скобки показывают, какую часть выражения нужно вычислить раньше остальных. Благодаря им можно задать нужный порядок действий и изменить результат вычисления.
Как проверить, что порядок действий выбран правильно?
Отметь, что сначала выполнены действия в скобках, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Внутри каждой ступени проверь, что действия выполнялись слева направо. Записывай промежуточные результаты, чтобы не потерять числа.
2.12. Числовые выражения. Порядок действий в выражениях
