"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Деление помогает узнать, сколько раз одно число содержится в другом, или разделить количество на равные части. Небольшие числа часто удобно делить устно: для этого используют таблицу умножения и разложение делимого на подходящие слагаемые. Для многозначных чисел применяют письменное деление уголком: цифры частного находят по очереди, начиная со старших разрядов. Результат проверяют умножением, а при делении с остатком убеждаются, что остаток меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устное деление — способ найти частное, используя известные случаи деления, разложение числа и вычисления в уме. Например, число можно представить как сумму удобных слагаемых и разделить каждое из них отдельно. Такой способ помогает быстро считать, когда числа легко разложить.
Письменное деление — способ делить многозначные числа, записывая промежуточные вычисления по разрядам. Записи помогают не потерять цифры и аккуратно выполнить длинное вычисление. Этот способ удобен, когда сразу найти ответ в уме трудно.
Деление уголком — запись письменного деления, в которой поочерёдно находят цифры частного и вычитают соответствующие произведения. При каждом шаге видно, какая часть делимого уже обработана и что осталось разделить. Поэтому легче следить за вычислениями и проверять их.
Неполное частное — число, которое получают на очередном шаге письменного деления и умножают на делитель. Оно показывает, сколько раз делитель помещается в текущей части делимого. Несколько таких цифр по порядку составляют полное частное.
При устном делении полезно разложить делимое на слагаемые, которые делятся на делитель без затруднений. Например, 840 можно представить как 700 + 140: оба слагаемых делятся на 7, поэтому можно найти два частных и сложить их. Такой приём работает благодаря тому, что сумму можно разделить на число по частям, если каждое слагаемое делится на него. Разложение выбирают так, чтобы промежуточные вычисления были простыми.
В письменном делении начинают со старших разрядов, потому что именно они задают величину числа и положение будущих цифр частного. Смотрят на цифры делимого слева направо и берут наименьшую начальную часть, которая не меньше делителя. Если начать с части меньшей делителя, в ней нельзя выделить ни одной группы делителя, и вычисление придётся начинать заново. Иногда для первой части нужно взять сразу несколько цифр делимого.
Когда выбрана подходящая часть, определяют, сколько раз делитель помещается в ней целое число раз. Найденное число записывают как очередную цифру частного, умножают на делитель и вычитают полученное произведение из выбранной части. Вычитание показывает, сколько осталось после того, как из этой части выделили несколько равных групп. Затем к остатку сносят следующую цифру делимого и продолжают вычисление.
Каждую цифру частного записывают над тем разрядом, который соответствует текущей части делимого. Это важно, потому что цифра может означать единицы, десятки или сотни частного, а положение определяет её значение. Если очередная часть меньше делителя, в соответствующем разряде частного не получается ни одной единицы. Тогда записывают ноль и переходят к следующей цифре, иначе оставшиеся цифры сместятся.
Чтобы проверить деление, умножают частное на делитель: при делении без остатка должно получиться делимое. Если деление было с остатком, к произведению прибавляют остаток, и сумма должна равняться делимому. Кроме того, остаток обязан быть меньше делителя. Если он не меньше, значит, деление можно продолжить и частное пока найдено не полностью.
| Способ | Как выполняют | Когда удобно применять | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Устное деление | Разлагают делимое на удобные слагаемые и делят их отдельно | Когда частное легко найти в уме | Умножить частное на делитель |
| Письменное деление уголком | По разрядам находят цифры частного, умножают и вычитают | Когда числа многозначные и вычисления в уме неудобны | Умножить частное на делитель |
| Деление с остатком | Делят до тех пор, пока остаток не станет меньше делителя | Когда делимое не делится на делитель нацело | Делитель × частное + остаток = делимое |
Сначала выбери способ: для небольших и удобных чисел попробуй устное деление, а для длинных вычислений используй уголок. Если деление не заканчивается нацело, найди остаток и сравни его с делителем. В последнем столбце таблицы указано, какую проверку выполнить.
Подберём разложение 840 на слагаемые, которые легко делить на 7. Разложим число на 700 и 140: оба слагаемых делятся на 7 без остатка. Найдём их частные отдельно, а затем сложим.
Ответ: 840 : 7 = 120. Проверка: 120 × 7 = 840. Значит, частное найдено верно.
Начнём с цифр слева: 9 меньше 24, поэтому берём первые две цифры, получаем 93. В числе 93 делитель 24 помещается три раза, потому что 24 × 3 = 72, а 24 × 4 = 96 — уже больше 93. После вычитания к остатку снесём последнюю цифру делимого и продолжим.
Ответ: 936 : 24 = 39. Проверка: 39 × 24 = 936. Остаток равен нулю, значит, деление выполнено нацело.
Будем делить слева направо и каждый раз выбирать цифру частного так, чтобы произведение на 32 не превышало текущую часть делимого. После каждого вычитания снесём следующую цифру. В конце проверим, что остаток меньше 32, и восстановим делимое умножением.
Ответ: частное 152, остаток 11. Остаток меньше делителя: 11 < 32. Проверка: 32 × 152 + 11 = 4864 + 11 = 4875, значит, деление выполнено правильно.
Если начать с цифры делимого, которая меньше делителя, первая часть окажется неподходящей для деления. Так бывает, когда ученик торопится и не смотрит на несколько первых цифр вместе. Выбери слева направо наименьшую часть, не меньшую делителя, и проверь, что найденная цифра частного при умножении не даёт слишком большого произведения.
Цифру частного иногда записывают не над тем разрядом, потому что при снесении следующей цифры теряют счёт. Тогда частное получается с неверным значением, даже если умножение и вычитание сделаны правильно. Сверяй каждую цифру частного с той частью делимого, которую сейчас делишь, и проверь ответ умножением.
Ноль в частном пропускают, если очередная часть делимого меньше делителя. Это случается, когда принимают ноль за ненужную запись, хотя он обозначает пустой разряд. Проверь положение цифр частного: если в каком-то разряде не выделяется ни одной группы делителя, запиши там 0 и продолжай.
Остаток, равный делителю или больший него, оставлять нельзя, потому что из него ещё можно выделить хотя бы одну группу делителя. Такая ошибка возникает, если деление остановили сразу после последнего вычитания. Убедись, что остаток меньше делителя; если это не так, продолжи деление и проверь равенство делимое = делитель × частное + остаток.
Для устного и письменного деления нужны таблица умножения и знание разрядного состава многозначных чисел. Таблица помогает быстро выбирать цифры частного и проверять произведения. Понимание разрядов объясняет, почему цифры частного записывают на определённых местах.
Деление применяют в текстовых задачах, когда предметы нужно распределить поровну или узнать число равных групп. Письменный способ помогает выполнять такие вычисления и работать с многозначными числами. Ответ удобно оценить с помощью умножения.
Проверка деления через умножение и остаток пригодится при дальнейшем изучении делимости чисел и дробей. Она помогает установить, делится ли число нацело, и показывает, как связаны делимое, делитель и частное. Умение находить остаток также используется в задачах, где целые группы не исчерпывают всё количество.
Как понять, можно ли разделить число устно?
Посмотри, можно ли представить делимое как сумму удобных чисел, каждое из которых делится на делитель. Затем раздели каждое слагаемое и сложи частные. Если подходящего разложения не видно или вычислять в уме трудно, удобнее делить письменно.
С какой цифры делимого начинать деление уголком?
Начинай со старшего разряда и бери цифры слева направо, пока полученное число не станет не меньше делителя. Это будет первая часть делимого, которую можно разделить на делитель.
Почему при письменном делении иногда нужно записать ноль в частном?
Ноль записывают, если очередная часть делимого меньше делителя и в этом разряде частного не получается ни одной единицы. Он сохраняет место разряда, чтобы следующие цифры частного оказались на правильных местах.
Как проверить деление с остатком?
Умножь делитель на частное и прибавь остаток. Должно получиться делимое. Ещё проверь, что остаток меньше делителя.
Может ли остаток быть больше делителя?
Нет, остаток должен быть меньше делителя. Если он равен делителю или больше него, деление можно продолжить: из остатка получится ещё одна часть частного.
2.11. Устное и письменное деление
