"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное буквой. Уравнения помогают находить неизвестные значения и переводить условия задач на язык математики. Число, при котором равенство становится верным, называют корнем уравнения. Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что их нет. Для решения используют связи между компонентами действий, а найденное значение обязательно проверяют подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, значение которого нужно найти. Например, в записи x + 7 = 15 неизвестное обозначено буквой x. Уравнение отличается от выражения тем, что в нём обязательно есть знак равенства. Оно помогает записать неизвестное значение и найти его с помощью известных правил.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. Например, число 8 — корень уравнения x + 7 = 15, потому что 8 + 7 = 15. Проверка показывает, подходит ли найденное число, поэтому нельзя называть корнем любое число до подстановки. У одного уравнения может быть один корень, несколько корней или ни одного.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Недостаточно просто выполнить несколько вычислений: нужно убедиться, что найдены все значения, при которых равенство верно. Для этого используют правила арифметических действий и проверку. Такой порядок помогает не пропустить подходящий ответ и не включить лишний.
Левая и правая части уравнения — выражения, расположенные соответственно до и после знака равенства. В записи x + 7 = 15 левая часть — x + 7, а правая — 15. Такое название позволяет точно описать, с какой частью выполняют действие. При решении важно сохранять равенство между обеими частями.
Чтобы отличить уравнение от других записей, найди знак равенства и неизвестное. Запись 6 + 4 = 10 — числовое равенство: в ней нет неизвестного, и обе части уже имеют числовые значения. Запись x + 4 — выражение с переменной, но без знака равенства, поэтому это не уравнение. А запись x + 4 = 10 — уравнение, потому что в ней есть и неизвестное, и равенство, которое нужно сделать верным.
Корень проверяют подстановкой, потому что само найденное число ещё нужно сравнить с условием уравнения. Вместо неизвестного записывают предполагаемый корень и считают левую и правую части. Если они равны, значение подходит; если нет — в решении есть ошибка или выбрано неподходящее число. Проверка именно в исходном уравнении помогает убедиться, что ответ подходит до всех преобразований.
Неизвестное часто удаётся найти, вспомнив связь между компонентами действия. В сумме неизвестное слагаемое находят вычитанием известного слагаемого из суммы: если x + 7 = 15, то x = 15 − 7. Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель: если 6 · x = 24, то x = 24 : 6. Эти правила обращают действие вспять и помогают восстановить неизвестное число.
При переносе слагаемого через знак равенства меняется знак, потому что за этим сокращённым приёмом стоит одинаковое действие с обеими частями. Например, в x + 7 = 15 можно вычесть 7 и слева, и справа: x + 7 − 7 = 15 − 7. Получается x = 15 − 7, то есть x = 8. Запись «перенести 7 и изменить знак» лишь короче, чем полная запись вычитания.
Если неизвестное встречается в обеих частях, сначала упрощают каждую часть и затем располагают слагаемые с неизвестным отдельно от чисел. Например, в x + 5 = 2x + 1 можно вычесть x из обеих частей, а затем вычесть 1 из обеих частей; получится 4 = x. Если в уравнении есть скобки, сначала выполняют действия со скобками по изученным правилам, чтобы увидеть, какие слагаемые можно объединить. После решения проверяют полученное число в исходной записи, а не только в упрощённой.
Таблица показывает, какое действие выбрать в простых уравнениях. Сначала определи, что именно неизвестно: слагаемое или множитель, а затем найди нужное правило. После вычисления подставь результат в исходное уравнение и проверь равенство.
| Элемент | Что нужно сделать | Пример результата |
|---|---|---|
| Уравнение | Назвать неизвестное и части равенства | x + 7 = 15 |
| Корень | Подставить найденное значение и проверить равенство | x = 8 |
| Неизвестное слагаемое | Вычесть известное слагаемое из суммы | x = 15 − 7 |
| Неизвестный множитель | Разделить произведение на известный множитель | x = 24 : 6 |
Задача 1. Определи, какие записи являются уравнениями, и назови неизвестное и части равенства: 8 + 5 = 13; x + 5; x + 5 = 13. Сравним записи: для уравнения нужны одновременно знак равенства и неизвестное. Если одного из этих признаков нет, запись уравнением не является.
Ответ: уравнение — x + 5 = 13; неизвестное — x, части — x + 5 и 13. Остальные две записи не являются уравнениями, потому что в первой нет неизвестного, а во второй — равенства. Различай признаки записи, а не только наличие буквы.
Задача 2. Реши уравнение x + 38 = 65 и выполни проверку. Неизвестное здесь — слагаемое, а 65 — сумма. Значит, чтобы найти x, из суммы нужно вычесть известное слагаемое.
Ответ: x = 27. При проверке левая часть стала равна 65, как и правая, поэтому равенство верно. Если бы результаты частей не совпали, следовало бы перепроверить вычитание и решение.
Задача 3. После покупки нескольких тетрадей по одинаковой цене осталось 65 рублей. До покупки было 200 рублей, а одна тетрадь стоит 27 рублей. Сколько тетрадей купили? Обозначим число тетрадей буквой x: стоимость покупки равна 27 · x, а после покупки осталось 200 − 27 · x рублей.
Ответ: купили 5 тетрадей. Проверка показывает, что после оплаты действительно осталось 65 рублей. Число тетрадей целое и соответствует смыслу задачи.
Уравнение путают с выражением, если обращают внимание только на букву и не замечают знак равенства. Например, x + 3 — это выражение, а x + 3 = 10 — уравнение. Такая путаница возникает потому, что обе записи содержат неизвестное. Проверь себя: у уравнения должны быть и неизвестное, и знак равенства.
Иногда корнем называют любое число, которое получилось в вычислении, не подставляя его в исходное уравнение. Тогда ошибка в вычислениях или неверный выбор действия может остаться незамеченным. Подстановка показывает, становится ли равенство верным. Проверь, что обе части после вычислений равны.
При переносе слагаемого можно забыть изменить его знак или по ошибке изменить знак у другого слагаемого. Обычно это происходит, когда переносят числа механически, не вспоминая, какое действие выполняется с обеими частями. Запиши сначала вычитание или сложение одного и того же числа слева и справа. Затем сравни результат с короткой записью переноса.
Некоторые записывают только найденное значение неизвестного и заканчивают решение. Из-за этого можно не заметить ошибку и забыть, что в задаче ещё требуется ответить на вопрос. После нахождения корня подставь его в исходное уравнение, а в текстовой задаче проверь, подходит ли число по смыслу. В конце сформулируй ответ словами, если этого требует условие.
Для решения уравнений нужно знать компоненты арифметических действий: например, что неизвестное слагаемое находят вычитанием, а неизвестный множитель — делением. Также пригодятся порядок действий, обозначение неизвестного буквой и свойства равенства: одинаковое действие с обеими частями сохраняет равенство. Эти знания помогают обосновать шаги решения, а не угадывать их. Уравнения, в свою очередь, нужны при решении текстовых задач, неравенств и более сложных уравнений.
Чем уравнение отличается от выражения?
В уравнении есть знак равенства и неизвестное, например x + 3 = 10. Выражение может содержать букву, но в нём нет знака равенства: x + 3. Поэтому по одному выражению нельзя определить, какое значение буквы делает равенство верным.
Может ли уравнение иметь несколько корней?
Да, уравнение может иметь несколько корней, один корень или не иметь корней. Например, если подходят несколько значений неизвестного, каждое из них нужно проверить в исходном равенстве. Решить уравнение — значит найти все подходящие значения.
Почему при переносе через знак равенства меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия, которое сохраняет равенство. Чтобы убрать слагаемое из одной части, из обеих частей вычитают это слагаемое; поэтому в другой части оно появляется с противоположным знаком. Можно решать и без переноса, выполняя одинаковое действие с обеими частями.
Обязательно ли проверять корень уравнения?
Проверка помогает убедиться, что вычисления верны и найденное число действительно подходит. Подставь его вместо неизвестного в исходное уравнение и вычисли обе части. Если получились одинаковые числа, равенство верно.
Что делать, если неизвестное встречается в обеих частях уравнения?
Сначала упрости обе части: выполни действия в скобках и приведи подобные слагаемые, если это изучено. Затем собери слагаемые с неизвестным в одной части, а известные — в другой, сохраняя равенство. В конце проверь найденное значение подстановкой в исходное уравнение.
2.14. Уравнение
