"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Если известны сумма двух чисел и то, на сколько одно больше другого, сами числа можно найти без долгого подбора. Для этого удобно обозначить большее число буквой x, меньшее — буквой y, а сумму и разность — буквами S и D. Тогда большее число равно половине суммы S и D, а меньшее — половине их разности. Формулы помогают решать задачи не только про числа, но и про длины, возраст или количество предметов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма двух чисел — результат их сложения; обозначим её буквой S. Например, если сложить 8 и 5, получится сумма 13. Буква S помогает записывать условие задачи коротко, не подставляя сразу конкретные числа. В формулах она будет обозначать известное значение суммы.
Разность двух чисел — результат вычитания меньшего числа из большего; обозначим её буквой D. Если большее число равно 8, а меньшее — 5, то разность равна 3. Такое обозначение показывает, насколько одно число больше другого. По условию задачи значение D известно заранее.
Большее и меньшее числа — те числа, которые нужно найти; удобно обозначить их x и y, где x ≥ y. Знак ≥ означает, что x больше y или равен ему. При таком порядке разность записывается как x − y и не становится отрицательной. Эти буквы помогают перевести условие задачи в равенства и применить к ним вычисления.
Пусть сумма чисел равна S, а разность — D. Если x — большее число, а y — меньшее, то первое условие записывается так: x + y = S, а второе — x − y = D. Эти равенства описывают одну и ту же пару чисел с двух сторон: сколько получится при сложении и насколько числа отличаются. Записать оба условия полезно, потому что одного знания суммы недостаточно, чтобы определить каждое число.
Чтобы найти большее число, сложим равенства x + y = S и x − y = D. Слева складываются x + y и x − y: слагаемое y и вычитаемое y дают ноль, поэтому остаётся x + x, то есть 2x. Справа складываются известные значения S и D, значит, 2x = S + D. Удвоенное x получилось потому, что в обоих равенствах присутствует по одному x.
Из равенства 2x = S + D делим обе части на 2. Так находим большее число: x = (S + D) / 2. Деление нужно не для изменения результата, а чтобы перейти от двух одинаковых частей x + x к одной части x. Поэтому сначала складывают сумму и разность, а затем обязательно делят полученное число пополам.
Теперь найдём меньшее число. Вычтем второе равенство x − y = D из первого x + y = S: слева x пропадает, потому что x − x = 0, а остаётся y − (−y), то есть 2y. Справа получается S − D, поэтому 2y = S − D. Делим обе части на 2 и получаем y = (S − D) / 2.
После вычислений проверь оба условия: сложи найденные числа и вычти из большего меньшее. Результаты должны совпасть с заданными S и D, иначе где-то допущена ошибка. Для целых чисел также проверь чётность: S и D должны быть обе чётными или обе нечётными, иначе деление на 2 даст нецелые числа. Для натуральных чисел дополнительно убедись, что полученные значения положительны.
| Что найти | Действие с суммой S и разностью D | Формула |
|---|---|---|
| Большее число | Сложить сумму и разность, затем разделить на 2 | x = (S + D) / 2 |
| Меньшее число | Вычесть разность из суммы, затем разделить на 2 | y = (S − D) / 2 |
| Проверка суммы | Сложить найденные числа | x + y = S |
| Проверка разности | Вычесть меньшее число из большего | x − y = D |
| Условие существования целых чисел | Проверить одинаковую чётность S и D и условие S ≥ D | (S + D) / 2 и (S − D) / 2 — целые |
Сначала выбери, какое число больше, и подставь в таблицу известные S и D. По формулам найди оба числа, а затем выполни две проверки. Если нужны натуральные числа, проверь ещё, что оба результата больше нуля.
Сумма двух чисел равна 26, разность — 8. Найдите числа. Сумма сообщает, сколько получится вместе, а разность показывает, насколько числа отличаются. Обозначим большее число x, а меньшее y, чтобы разность можно было записать как x − y.
Ответ: 17 и 9.
Длина двух отрезков вместе составляет 41 см, а первый отрезок длиннее второго на 9 см. Найдите длину каждого отрезка. Вместе отрезки имеют длину 41 см — это сумма, а превышение длины первого над вторым равно 9 см — это разность. Поскольку первый отрезок длиннее, его удобно обозначить x, а второй — y.
Ответ: длина первого отрезка — 25 см, второго — 16 см.
Два числа относятся к натуральным. Их сумма равна 35, а разность — 6. Можно ли найти такие числа? Сразу вычислять оба числа не обязательно: сначала проверим, дадут ли формулы целые результаты. Для этого посмотрим на чётность суммы и разности.
Ответ: найти такие натуральные числа нельзя.
Путать, какое число больше. Если x обозначает большее, а y — меньшее, разность равна x − y, не y − x. Путаница обычно возникает, когда буквы выбраны без связи с условием. Проверь, что x ≥ y и что вычитание большего числа из меньшего не требуется.
Складывать сумму и разность при поиске меньшего числа. Это действие даёт удвоенное большее число, поэтому для y нужно вычислить S − D. Ошибка появляется, если запомнить только слово «сложить» и не связать его с нужным числом. Проверь формулу: для меньшего числа после действий должно остаться 2y.
Забывать разделить на 2. Выражения S + D и S − D равны не искомому числу, а его удвоенному значению. Такое случается, если остановиться сразу после сложения или вычитания. В конце решения спроси себя, получил ли ты 2x или 2y, и выполни деление пополам.
Не проверять ответ. Найденная пара может не дать исходную сумму или разность, а иногда результат не подходит под ограничение задачи. Причиной бывают вычислительная ошибка или невнимательное чтение условия. Подставь числа обратно: сложи их, вычти меньшее из большего и проверь, подходят ли ответы по смыслу.
Для решения нужно уметь складывать и вычитать числа, делить чётные числа на 2 и проверять равенства. Эти действия помогают и в других текстовых задачах: например, когда ищут возраст двух людей, длины предметов или количество вещей в двух группах. Условия таких задач можно записать двумя равенствами и связать с неизвестными числами. Поэтому способ служит простым примером решения системы условий.
Почему при сложении суммы и разности получается удвоенное большее число?
Запишем сумму как x + y, а разность — как x − y. При сложении выражений +y и −y взаимно уничтожаются, остаётся x + x, то есть 2x.
Как найти меньшее число, если известны сумма и разность?
Из суммы вычти разность и раздели результат на 2: y = (S − D) / 2. Вычитание убирает удвоенное большее число и оставляет удвоенное меньшее.
Что делать, если в условии разность не указана, но сказано, на сколько одно число больше другого?
Это число и есть разность: например, если первое число больше второго на 7, то D = 7. Обозначь большее число x, меньшее y и используй условия x + y = S и x − y = 7.
Можно ли применять этот способ, если разность отрицательная?
Если под разностью понимают, на сколько большее число больше меньшего, она не бывает отрицательной. Если числа вычитают в заданном порядке и результат отрицательный, поменяй порядок чисел или учитывай знак отдельно.
Как проверить, что по заданным сумме и разности существуют целые числа?
Вычисли (S + D) / 2 и (S − D) / 2. Чтобы оба числа были целыми, сумма и разность должны быть одной чётности: обе чётные или обе нечётные; также должно выполняться S ≥ D.
2.16. Нахождение двух чисел по их сумме и разности
