"Математика (в 2 частях)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Свойства арифметических действий помогают менять порядок и группировку чисел там, где это не меняет результат, и выбирать более удобный способ вычисления. Слагаемые при сложении и множители при умножении можно переставлять и группировать. Умножение распределяется относительно сложения и вычитания: число перед скобками умножается на каждый член внутри. Вычитание и деление таких свобод не дают, поэтому скобки и знаки нужно сохранять.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения означает, что от перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. Например, 7 + 12 = 12 + 7. Это позволяет начинать вычисление с того слагаемого, которое удобнее соединить с другим числом.
Сочетательное свойство сложения позволяет по-разному объединять слагаемые: (a + b) + c = a + (b + c). Скобки показывают, какие числа складывают первыми, но итоговая сумма остаётся прежней. Это свойство нужно, чтобы сначала получить удобную пару чисел, например круглое число.
Переместительное и сочетательное свойства умножения означают, что множители можно переставлять и группировать без изменения произведения. Например, a · b = b · a и (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому можно выбрать удобный порядок вычислений и сначала перемножить подходящие множители.
Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания записывают так: a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac. Число перед скобками умножается на каждый член в скобках, сохраняя его знак. Правило нужно и для раскрытия скобок, и для обратного преобразования — вынесения общего множителя.
Сумма обозначает общее количество предметов, поэтому порядок, в котором мы складываем две группы, не влияет на их общее число. Если к 7 прибавить 13, получится столько же, сколько при прибавлении 7 к 13: 20. Переместительное свойство позволяет поставить рядом слагаемые, которые дают удобную сумму. С умножением причина похожа: 3 · 5 — это три группы по пять, а 5 · 3 — пять групп по три; в обоих случаях всего 15 предметов.
Сочетательное свойство объясняется тем, что можно сначала найти сумму или произведение любой пары, а затем выполнить оставшееся действие. При сложении трёх чисел итоговое количество не зависит от того, какие два числа мы посчитали вместе. Например, в выражении 18 + 2 + 35 разумно сначала сложить 18 и 2. При умножении можно сгруппировать множители 25 · 4, чтобы получить 100, а затем умножить на оставшееся число.
Распределительное свойство можно увидеть на примере 4(6 + 3). В скобках записано общее число предметов в одной группе, а число 4 показывает, что таких групп четыре. Всего это четыре группы по 6 и ещё четыре группы по 3, то есть 4 · 6 + 4 · 3. Поэтому при умножении суммы на число каждый член суммы умножается на этот множитель; для разности действует такой же разбор, но второй член вычитается.
Распределительное свойство работает и в обратную сторону. В выражении 6 · 8 + 6 · 3 множитель 6 повторяется в каждом слагаемом, поэтому можно записать 6(8 + 3). Так вычисление иногда становится короче, а выражение — проще. В отличие от сложения и умножения, вычитание и деление обычно нельзя свободно переставлять или перегруппировывать: 9 − 4 не равно 4 − 9, а (24 : 6) : 2 не равно 24 : (6 : 2).
| Свойство | Сложение | Умножение | Вычитание и деление |
|---|---|---|---|
| Переместительное | a + b = b + a | a · b = b · a | Обычно не действует |
| Сочетательное | (a + b) + c = a + (b + c) | (a · b) · c = a · (b · c) | Обычно не действует |
| Распределительное | Умножение распределяется относительно суммы и разности | a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac | Нельзя менять местами или группировать без проверки |
| Пример применения для удобного вычисления | 37 + 128 + 63 = (37 + 63) + 128 | 25 · 16 · 4 = 25 · 4 · 16 | 9 − 4 ≠ 4 − 9; (24 : 6) : 2 ≠ 24 : (6 : 2) |
Сначала определите, какое действие выполняется, и проверьте, есть ли для него нужное свойство. Если можно менять порядок или группировку, выбирайте числа, с которыми проще считать. При работе со скобками следите, чтобы множитель относился ко всем членам внутри.
Вычислять слева направо можно, но это не самый короткий путь. Среди слагаемых есть 37 и 63, которые дают круглое число 100. Переставим и сгруппируем их, используя свойства сложения.
Перестановка и группировка не изменили сумму, но упростили счёт. Сначала мы получили 100, а затем прибавили 128. Ответ: 228.
Если перемножать числа в исходном порядке, сначала получится 400, а затем потребуется умножать его на 4. Можно переставить множители так, чтобы сначала получить 100. Для этого объединим 25 и 4, применив переместительное и сочетательное свойства умножения.
Порядок множителей и скобки изменились, но произведение осталось тем же. Такой способ удобен, потому что 25 · 4 легко посчитать. Ответ: 1600.
В обоих произведениях есть множитель 48. Вместо двух отдельных умножений можно воспользоваться распределительным свойством в обратную сторону. При вычитании второго произведения знак минус сохраняется внутри скобок.
Преобразование верно, потому что 48 умножается и на 17, и на 7, а между произведениями стоит знак вычитания. Проверить результат можно прямым вычислением: 816 − 336 = 480. Ответ: 480.
Ошибка — переставить числа при вычитании или делении, как будто это слагаемые или множители. Так поступают, потому что переместительное свойство уже знакомо по сложению и умножению. Проверьте на простом примере: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 = −5; порядок имеет значение.
Ошибка — изменить группировку при вычитании или делении без учёта скобок. Привычка группировать числа возникает из сочетательного свойства сложения и умножения, но для других действий оно обычно не работает. Сравните (24 : 6) : 2 = 2 и 24 : (6 : 2) = 8: результаты разные.
При раскрытии скобок иногда умножают общий множитель только на первое слагаемое. Это происходит, если скобки воспринимают как украшение, а не как указание на сумму или разность целиком. Проверьте результат обратным раскрытием: для a(b + c) должны получиться два произведения, ab и ac.
При раскрытии скобок с разностью можно ошибиться со знаком второго произведения. Минус перед вторым членом не исчезает: a(b − c) = ab − ac. Чтобы проверить себя, мысленно умножьте множитель на каждый член по отдельности и перенесите его знак в результат.
Для работы со свойствами пригодятся названия компонентов сложения, вычитания, умножения и деления. Также нужно знать порядок действий и понимать, как скобки задают последовательность вычислений. Если эти основы знакомы, проще определить, какое преобразование допустимо.
Свойства арифметических действий помогают выполнять устные и письменные вычисления быстрее. С их помощью можно выбирать удобный порядок счёта и упрощать выражения. Распределительное свойство особенно полезно при раскрытии скобок и вынесении общего множителя.
Позже это же правило применяется при умножении многочленов и преобразовании алгебраических выражений. Каждый член одного выражения умножается на каждый нужный член другого. Поэтому точное соблюдение скобок и знаков важно не только в арифметике, но и в алгебре.
Можно ли менять местами числа при вычитании?
Обычно нельзя: 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5. При перестановке чисел результат изменился, поэтому вычитание не обладает переместительным свойством.
Почему при умножении можно менять порядок множителей?
Потому что произведение не меняется от перестановки множителей: например, 3 · 5 и 5 · 3 дают 15. Это переместительное свойство умножения.
Как выбрать, какие слагаемые или множители сгруппировать?
Ищите числа, с которыми проще считать: например, слагаемые, дающие круглое число, или множители, произведение которых легко найти. Переставлять и группировать можно только слагаемые при сложении и множители при умножении.
Как раскрыть скобки перед которыми стоит число?
Умножьте число перед скобками на каждый член внутри. Например, a(b + c) = ab + ac, а a(b − c) = ab − ac: знак минус перед вторым произведением сохраняется.
Как вынести общий множитель за скобки?
Найдите множитель, который есть в каждом слагаемом, и запишите его перед скобками. Внутри скобок оставьте результаты деления слагаемых на этот множитель: ab + ac = a(b + c).
5. Свойства арифметических действий
