"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Свойства арифметических действий помогают менять порядок сложения и умножения так, чтобы считать было удобнее. Слагаемые можно переставлять и объединять в группы, и сумма при этом не изменится; то же верно для множителей и произведения. Эти правила позволяют быстрее выполнять вычисления и упрощать выражения. Но переносить их на вычитание и деление нельзя: там порядок чисел и скобок обычно влияет на результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переместительное свойство сложения означает, что слагаемые можно менять местами, не меняя сумму. Это записывают так: a + b = b + a, где a и b — числа. Например, 6 + 9 = 9 + 6. Свойство удобно, когда один порядок слагаемых помогает считать быстрее.
Сочетательное свойство сложения позволяет по-разному объединять в группы несколько слагаемых: (a + b) + c = a + (b + c). Скобки показывают, какие числа складывают сначала. Например, можно сначала объединить слагаемые, сумма которых получается круглой. Благодаря этому выражение проще вычислить устно.
Переместительное свойство умножения утверждает, что множители можно менять местами без изменения произведения. Запись a · b = b · a показывает, что порядок сомножителей не влияет на ответ. Например, 4 · 7 = 7 · 4. Это помогает выбирать более удобный порядок умножения.
Сочетательное свойство умножения разрешает группировать множители по-разному: (a · b) · c = a · (b · c). Произведение останется тем же, потому что меняется лишь порядок выполнения умножений. Например, если среди множителей есть 25 и 4, их удобно объединить и получить 100. Так легче выполнить оставшуюся часть вычисления.
При сложении каждое слагаемое вносит свой вклад в общую сумму, поэтому их порядок не важен. Если к одной группе предметов добавить другую, итоговое количество не изменится от того, какую группу назвали первой. Например, 12 + 8 = 8 + 12 = 20. В длинной сумме это позволяет сначала поставить рядом числа, которые легко сложить.
Сочетательное свойство сложения связано с тем, что промежуточные суммы можно находить в разном порядке, не теряя слагаемых. Например, в 26 + 14 + 7 сначала удобно сложить 26 и 14: получится 40, к которому легко прибавить 7. Это и есть выбор удобной группы, а не изменение самого выражения. Скобки помогают явно показать, какие числа объединены первыми.
При умножении переместительное свойство действует потому, что число групп и количество предметов в каждой группе можно поменять ролями, не меняя общего количества. Поэтому 3 · 8 и 8 · 3 дают 24. В вычислениях можно переставить множители так, чтобы первым использовать знакомый или удобный результат. Например, вместо 7 · 2 · 5 удобно рассмотреть 7 · 5 · 2.
Сочетательное свойство умножения позволяет сначала перемножить те множители, которые дают круглое число. Например, в выражении 6 · 25 · 4 можно объединить 25 и 4: их произведение равно 100, а дальнейшее умножение становится простым. Если нужно получить 10, можно сгруппировать, например, 2 и 5. Скобки обозначают такую удобную группировку, но итоговое произведение сохраняется.
Сложение и умножение обладают и переместительным, и сочетательным свойствами, поэтому при вычислениях можно менять порядок и группировать числа. У вычитания и деления результат зависит от того, какое число стоит первым и где поставлены скобки. Например, 10 − 3 не равно 3 − 10, а (20 : 5) : 2 не равно 20 : (5 : 2). Поэтому правила для сложения и умножения нельзя автоматически переносить на другие действия.
| Действие | Свойство | Запись | Пример применения |
|---|---|---|---|
| Сложение | Переместительное | a + b = b + a | 7 + 13 = 13 + 7 |
| Сложение | Сочетательное | (a + b) + c = a + (b + c) | (26 + 14) + 7 = 26 + (14 + 7) |
| Умножение | Переместительное | a · b = b · a | 6 · 4 = 4 · 6 |
| Умножение | Сочетательное | (a · b) · c = a · (b · c) | (25 · 4) · 7 = 25 · (4 · 7) |
| Вычитание и деление | Перестановка и группировка в общем случае не разрешены | a − b ≠ b − a; (a : b) : c ≠ a : (b : c) | 9 − 4 ≠ 4 − 9; (24 : 6) : 2 ≠ 24 : (6 : 2) |
Сначала определите, какое действие выполняется, а затем выберите подходящее свойство из таблицы. Если это сложение или умножение, перестановка и группировка могут помочь упростить вычисление. Для вычитания и деления проверяйте каждое преобразование подстановкой чисел.
Задача 1. Вычислите 38 + 17 + 62, используя свойства сложения. Здесь одно из чисел, 38, удобно сложить с 62: получится 100. Чтобы поставить эти слагаемые рядом, используем переместительное и сочетательное свойства, а 17 прибавим последним.
Ответ: 117. Мы не изменили значение выражения, а только выбрали удобный порядок сложения. Такая проверка полезна: все исходные слагаемые должны остаться в записи.
Задача 2. Вычислите 25 · 7 · 4, не выполняя умножение слева направо. Если сначала умножать 25 на 7, получится 175, и останется ещё одно действие. Удобнее сначала перемножить 25 и 4: эти множители дают 100.
Ответ: 700. Перестановка и группировка здесь разрешены, потому что речь идёт об умножении. После вычисления удобной пары остаётся простое действие с круглым числом.
Задача 3. Проверьте, можно ли в выражении 84 − 24 − 10 изменить порядок чисел или расставить скобки без изменения результата. Сначала вычислим исходную запись слева направо: так мы получим значение, с которым можно сравнить преобразованные выражения. Для проверки рассмотрим и перестановку чисел, и другую группировку.
Ответ: произвольно менять порядок и ставить скобки нельзя. Совпадение при одной перестановке получилось случайно: для другого выражения результат может измениться. Например, 84 − 10 − 24 и 84 − 24 − 10 совпали, но вычитание не становится от этого переместительным действием.
Первая ошибка — переставить числа в разности, как будто вычитание переместительно. Её допускают, перенося правило сложения на похожую запись с двумя числами. Проверьте вычислением: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 = −5, поэтому ответы разные.
Вторая ошибка — поменять местами делимое и делитель. Числа здесь выполняют разные роли, поэтому 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Чтобы проверить себя, вычислите оба частных и сравните их, а не полагайтесь на правило умножения.
Третья ошибка — применять сочетательное свойство сложения или умножения к вычитанию или делению, забывая о порядке действий и скобках. Это происходит, когда свойства воспринимают как разрешение свободно менять любые части выражения. Подставьте числа и сравните, например, (20 : 5) : 2 = 2 и 20 : (5 : 2) = 8.
Четвёртая ошибка — считать, что скобки можно расставить произвольно. Скобки меняют порядок вычислений, а значит, могут изменить ответ, если действие не обладает сочетательным свойством. Для проверки сначала посчитайте выражение с исходными скобками, затем с новыми и сравните результаты. Сохранять значение гарантируют только допустимые перегруппировки.
Чтобы пользоваться свойствами, нужно понимать смысл сложения, вычитания, умножения и деления, а также знать порядок выполнения действий. Эти знания помогают увидеть, какое преобразование разрешено, а какое может изменить результат. Свойства особенно полезны при устных вычислениях: они позволяют выбирать удобные пары чисел и множителей. Позже те же правила пригодятся при упрощении числовых и буквенных выражений и раскрытии скобок.
Почему при сложении можно менять слагаемые местами?
При перестановке слагаемых меняется только порядок их объединения, а общее количество не меняется. Например, 8 + 5 и 5 + 8 дают одну и ту же сумму — 13.
Чем переместительное свойство отличается от сочетательного?
Переместительное свойство разрешает менять числа местами: a + b = b + a. Сочетательное позволяет менять группировку трёх и более чисел: (a + b) + c = a + (b + c).
Как свойства сложения помогают считать быстрее?
С их помощью можно поставить рядом числа, которые удобно сложить, например те, что дают круглое число. Так, в выражении 38 + 17 + 62 сначала удобно сложить 38 и 62, получив 100.
Можно ли менять местами числа при вычитании?
В общем случае нельзя: 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5. Перестановка меняет результат, поэтому вычитание не обладает переместительным свойством.
Почему при делении нельзя произвольно переставлять числа или скобки?
Делимое и делитель выполняют разные роли, поэтому их перестановка обычно меняет частное: 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Меняется результат и при произвольной группировке: (24 : 6) : 2 = 2, но 24 : (6 : 2) = 8.
Свойства арифметических действий
