25. Треугольники и их виды

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, составленный из трёх отрезков, которые соединяют три точки попарно. Точки соединения называют вершинами, отрезки — сторонами, а углы между сторонами — углами треугольника. Например, у треугольника ABC вершины — A, B и C, стороны — AB, BC и CA. Такие обозначения помогают точно сказать, о какой части фигуры идёт речь в задаче.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Если, например, равны AB и AC, то BC будет основанием. Такое название помогает отличать равные стороны от оставшейся и разбирать задачи, где длины сторон связаны между собой.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Значит, равны и любые две его стороны, поэтому он является также равнобедренным. Это определение нужно, чтобы не смешивать фигуру с тремя равными сторонами и фигуру, у которой равна только одна пара сторон. Сначала можно проверить, равны ли все стороны, а затем — есть ли хотя бы две равные.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники различают по величине углов. У остроугольного все углы меньше прямого, у прямоугольного один угол равен прямому, а у тупоугольного один угол больше прямого. Эти названия подсказывают, какой угол искать при проверке фигуры. Сравнивать углы нужно с прямым углом, а не только смотреть на форму рисунка.

Как это устроено

Треугольник получают, когда три точки попарно соединяют отрезками: каждая точка становится общей для двух отрезков. Поэтому у фигуры три вершины и три стороны, и возле каждой вершины образуется угол. Для обозначения вершин используют заглавные буквы, например A, B и C; сторонам дают названия по двум концам: AB, BC и CA. Такое правило позволяет однозначно указывать нужную сторону и угол, даже если треугольников в задаче несколько.

Чтобы определить вид по сторонам, нужно сопоставить длины каждой пары сторон. Если три длины одинаковы, треугольник равносторонний; если совпадают две, он равнобедренный; если совпадений нет, разносторонний. Проверяют все три стороны, потому что сравнение только одной пары может не показать, равна ли третья сторона им обеим. Например, если две стороны равны, а третья отличается, достаточно назвать треугольник равнобедренным, а не разносторонним.

Равносторонний треугольник можно отнести и к равнобедренным: условие равнобедренности требует, чтобы равны были две стороны, но не запрещает равенство третьей. Если все три стороны равны, то любые две из них тоже равны. Поэтому эти названия не исключают друг друга, а равносторонний случай является более точным описанием. Чтобы выбрать точный ответ, проверяют все стороны и сообщают, равны ли две или все три.

Вид по углам определяют, сравнивая каждый угол с прямым. Угол меньше прямого называют острым, равный ему — прямым, а больший — тупым. В треугольнике сумма углов равна 180°: два прямых угла уже составили бы всю эту сумму, а два тупых превысили бы её. Поэтому прямым или тупым может быть не более одного угла; остальные углы прямоугольного или тупоугольного треугольника острые.

Классификация по сторонам и классификация по углам отвечают на разные вопросы. Первая показывает, какие стороны равны, а вторая — есть ли прямой или тупой угол. Значит, один и тот же треугольник можно проверить по обоим признакам и дать ему два названия, например равнобедренный и прямоугольный. Чтобы не пропустить признак, сначала отдельно сравните стороны, а затем отдельно проверьте углы.

Виды треугольников по сторонам и углам

Пользуйтесь таблицей как двумя отдельными списками: сначала выберите признак, по которому классифицируете треугольник. Для сторон сравните три длины, для углов — каждый угол с прямым. Если нужно полное описание, определите вид по обоим признакам.

Разбор задач

Задача 1. У треугольника стороны 4 см, 4 см и 4 см. Определите его вид по сторонам. Сравним длины не только одной пары, но и всех трёх сторон. Это позволит установить, равны ли две стороны или каждая сторона совпадает с остальными.

1. Сравним первую и вторую стороны: обе равны 4 см.
2. Сравним третью сторону с ними: она тоже равна 4 см.
3. Все три стороны одинаковы, значит, треугольник равносторонний. Поскольку в нём есть две равные стороны, он также равнобедренный.

Ответ: равносторонний; также равнобедренный. В ответе можно назвать оба вида, потому что равносторонний случай подходит под определение равнобедренного.

Задача 2. У треугольника стороны 5 см, 5 см и 8 см. Назовите его вид по сторонам и укажите основание. Нужно сначала найти равные стороны, а затем отличить их от третьей. В равнобедренном треугольнике равные стороны имеют специальное название, как и оставшаяся сторона.

1. Сравним длины: две стороны равны 5 см, а третья равна 8 см.
2. По двум равным сторонам определяем, что треугольник равнобедренный.
3. Стороны длиной 5 см — боковые, а третья сторона длиной 8 см — основание.

Ответ: равнобедренный треугольник; основание равно 8 см. Основанием здесь служит не одна из равных сторон, а сторона, которая осталась после их нахождения.

Задача 3. У треугольника один угол равен 90°, а две стороны имеют одинаковую длину. Определите его виды по углам и по сторонам. Эти данные относятся к двум разным признакам, поэтому их нужно проверять отдельно. Для одного признака сравним угол с прямым, для другого — длины сторон.

1. Угол 90° является прямым, следовательно, по углам треугольник прямоугольный.
2. Две стороны одинаковой длины, следовательно, по сторонам он равнобедренный.
3. Запишем оба названия вместе, чтобы учесть всю информацию условия.

Ответ: прямоугольный и равнобедренный треугольник. Одно название не заменяет другое: каждое сообщает о своём признаке.

Типичные ошибки

• Считать равносторонний и равнобедренный треугольники видами, которые не могут совпасть. Так думают, потому что названия часто учат как отдельные строки списка, но определение равнобедренного требует равенства двух сторон и не запрещает равенства третьей. Проверьте все три длины: если они равны, выберите точное название «равносторонний» и помните, что треугольник также равнобедренный.

• Называть основанием одну из равных сторон равнобедренного треугольника. Ошибка возникает, когда слово «основание» принимают за название любой стороны фигуры, но в этой теме оно обозначает именно третью сторону. Сначала найдите пару равных боковых сторон, а затем проверьте, какая сторона осталась: она и есть основание.

• Определять вид по углам только по внешнему виду рисунка. Рисунок может быть нарисован приблизительно: угол, похожий на прямой или тупой, не обязательно имеет нужную величину. Проверяйте углы измерением или сравнением с прямым углом, а при наличии данных в условии опирайтесь на них.

• Думать, что у треугольника могут быть два прямых или два тупых угла. Это невозможно, поскольку сумма трёх углов равна 180°: два прямых уже занимают всю сумму, а два тупых дают больше неё. Для самопроверки сложите известные углы или вспомните, что прямых и тупых углов может быть не более одного.

Связь с другими темами

До изучения треугольников нужно знать, что такое отрезок, угол и вершина. Ещё пригодится умение измерять длины и сравнивать углы с прямым: без этого трудно надёжно определить вид фигуры. Позже классификация помогает разбираться в задачах о периметре и площади, потому что в них важно замечать стороны и свойства фигур. Те же умения нужны и в других геометрических задачах, где приходится сравнивать элементы.

Что запомнить

• У треугольника три стороны, три вершины и три угла.
• У равнобедренного треугольника две равные стороны.
• У равностороннего треугольника равны все стороны.
• Разносторонний треугольник не имеет равных сторон.
• У остроугольного треугольника все углы острые.
• В прямоугольном треугольнике один угол прямой, а в тупоугольном — один тупой.
• Вид треугольника по сторонам и вид по углам определяют независимо.