Треугольники и четырёхугольники

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник с тремя сторонами, тремя вершинами и тремя углами. Вершины — это точки, в которых соединяются стороны, а угол образован двумя соседними сторонами. Такое определение помогает отличить треугольник от других фигур, не обращая внимания на его размер и наклон.

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами. Чтобы распознать его, можно сосчитать стороны или вершины: результат должен быть равен четырём. Это определение подходит для разных четырёхугольников, в том числе для прямоугольника и квадрата.

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Прямой угол такой же, как угол в углу листа бумаги или тетради. Это свойство нужно, чтобы отличить прямоугольник от других четырёхугольников, у которых углы могут быть наклонными.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит, у квадрата есть и четыре прямых угла, и четыре стороны одинаковой длины. Определение показывает, почему квадрат относится к прямоугольникам, но имеет дополнительное свойство.

Как это устроено

Многоугольник образуется замкнутой ломаной: её звенья становятся сторонами, а точки соединения — вершинами. Ломаная называется замкнутой, если её конец возвращается к начальной точке, поэтому внутри контура не остаётся разрыва. Каждая пара соседних звеньев встречается в одной точке, и эта точка становится вершиной. Так путь из прямых отрезков превращается в фигуру с границей.

Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин и углов, поэтому по этим признакам различают треугольники и четырёхугольники. Если пройти по замкнутой границе и считать звенья, то при каждом переходе к следующему звену встречается очередная вершина. После последнего звена путь возвращается к началу, не создавая отдельной стороны или вершины. Поэтому трёх сторон достаточно, чтобы узнать треугольник, а четыре стороны указывают на четырёхугольник.

Прямоугольник выделяют среди четырёхугольников по прямым углам, а квадрат — по сочетанию прямых углов и равных сторон. Четырёхугольник может иметь четыре стороны, но его углы не обязательно прямые, поэтому одного подсчёта сторон для распознавания прямоугольника мало. Квадрат сначала подходит под признак прямоугольника, поскольку каждый его угол прямой. Равенство всех сторон добавляет новое условие и позволяет назвать фигуру квадратом.

Фигуры можно сравнивать по числу сторон и свойствам сторон и углов; это помогает распознавать их независимо от размера и положения на рисунке. Например, прямоугольник, повёрнутый на листе, не перестаёт иметь прямые углы. Большая или маленькая фигура тоже сохраняет число сторон и их отношения. Поэтому нужно проверять признаки самой фигуры, а не судить только по тому, как она выглядит на странице.

Периметр многоугольника находят, складывая длины всех его сторон; у квадрата равные стороны позволяют заменить сложение умножением длины стороны на четыре. Периметр показывает длину всей границы, поэтому пропуск любой стороны даст неверный результат. Если стороны имеют одинаковую длину, каждую всё равно учитывают в сумме. Для квадрата четыре одинаковых слагаемых удобно записать как произведение длины стороны на четыре.

Сравнение треугольника и четырёхугольников

Сначала сравните количество сторон и вершин, затем проверьте углы и стороны. Признак «не задан определением» означает, что по одному этому названию нельзя сделать вывод о равенстве сторон или прямизне углов. Квадрат соответствует признакам прямоугольника и дополнительно имеет равные стороны.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена замкнутая ломаная из трёх звеньев. Назовите полученную фигуру и укажите число её вершин. Нужно использовать число звеньев, потому что каждое звено замкнутой ломаной становится стороной. Затем по числу сторон определим фигуру и количество вершин.

1. У ломаной три звена, значит, у полученной фигуры три стороны.
2. Многоугольник с тремя сторонами называется треугольником.
3. У треугольника столько же вершин, сколько сторон, поэтому вершин тоже три.

Ответ: треугольник, 3 вершины.

Задача 2. Периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Найдите его. Периметр — это сумма длин всех сторон, поэтому нужно учесть четыре стороны, а не только две названные длины. У прямоугольника противоположные стороны равны: две стороны имеют длину 8 см и ещё две — 5 см.

1. Запишем сумму длин всех сторон: 8 + 5 + 8 + 5.
2. Сложим одинаковые длины: 8 + 8 = 16, а 5 + 5 = 10.
3. Сложим полученные результаты: 16 + 10 = 26 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 26 см.

Задача 3. Периметр квадрата равен 36 см. Найдите длину его стороны и объясните, почему полученный ответ подходит. У квадрата четыре стороны одной и той же длины, значит, общий периметр состоит из четырёх равных частей. Чтобы найти одну часть, нужно разделить весь периметр на четыре.

1. Разделим периметр на число сторон: 36 : 4 = 9 см.
2. Проверим результат: у квадрата четыре равные стороны, каждая по 9 см.
3. Найдём периметр проверкой: 9 + 9 + 9 + 9 = 36 см, как и дано в условии.

Ответ: длина стороны квадрата равна 9 см. Ответ подходит, потому что четыре стороны по 9 см дают заданный периметр 36 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть прямоугольником любой четырёхугольник. Её допускают, потому что оба названия относятся к фигурам с четырьмя сторонами, но это не единственный признак прямоугольника. Проверьте каждый угол: все четыре должны быть прямыми.

Ошибка: считать квадрат отдельным от прямоугольников видом фигуры. Иногда внимание сосредоточено на равных сторонах, и забывается, что углы квадрата тоже прямые. Проверьте определение: если у фигуры все углы прямые, она прямоугольник, а равенство сторон делает её квадратом.

Ошибка: думать, что сторон может быть больше или меньше, чем вершин. Так бывает, если считать только отрезки или только точки и не проследить весь замкнутый контур. Проверьте фигуру обходом: после каждого звена отмечайте точку соединения, а в конце убедитесь, что вернулись к началу.

Ошибка: складывать для периметра прямоугольника только две разные длины сторон. Это происходит потому, что противоположные стороны равны и кажется, будто одну из них можно не учитывать. Запишите все четыре стороны или умножьте каждую из двух длин на два: например, 8 + 5 + 8 + 5. Сумма должна учитывать всю границу фигуры.

Связь с другими темами

Для работы с многоугольниками полезно уметь распознавать отрезок, прямой угол и замкнутую ломаную. Отрезки нужно измерять, чтобы узнать длины сторон и найти периметр. Если замкнутость или прямой угол определены неверно, можно ошибиться при названии фигуры.

Периметр показывает длину границы фигуры, поэтому это понятие пригодится в задачах, где нужно узнать, сколько материала потребуется для ограждения или рамки. Свойства прямоугольника помогают при изучении площади фигур и вычислении длины границы. Периметр и площадь отвечают на разные вопросы: длина контура и размер поверхности — не одно и то же.

Что запомнить

• У треугольника три стороны, три вершины и три угла.
• У четырёхугольника четыре стороны, четыре вершины и четыре угла.
• У прямоугольника все углы прямые.
• У квадрата все углы прямые и все стороны равны.
• Квадрат является прямоугольником.
• Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.
• Периметр квадрата равен четырём длинам его стороны.