"Математика", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Отношение чисел или величин — это частное, с помощью которого сравнивают два значения. Оно показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть от него составляет. Чтобы найти отношение величин, их сначала выражают в одинаковых единицах, а затем делят. Порядок записи имеет значение, а делить на ноль нельзя. Эти правила пригодятся при решении задач на сравнение, пропорции, масштаб и проценты.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношением двух чисел a и b, где b ≠ 0, называют частное a / b. Записывают его так: a : b или a / b, и эти записи равнозначны. Это обозначение помогает коротко записать деление одного числа на другое и показывает порядок сравнения.
Значение отношения — результат деления первого числа на второе. Если оно больше единицы, первое число больше второго; если меньше единицы, первое составляет такую часть второго. Поэтому по значению отношения можно понять, во сколько раз числа отличаются или какую часть одно составляет от другого.
Отношением величин называют частное их числовых значений, записанных в одинаковых единицах. Например, метры сначала переводят в сантиметры, если вторую величину измерили в сантиметрах. Это нужно, чтобы сравнивать значения, выраженные одной и той же меркой, а не смешивать разные единицы.
Обратное отношение чисел a и b — это отношение b к a, то есть b : a. Если оба числа ненулевые, значение обратного отношения обратно значению отношения a : b. Оно позволяет рассмотреть сравнение в противоположном порядке: от второго числа к первому.
Сравнивать числа можно вычитанием или делением, но эти действия отвечают на разные вопросы. Разность показывает, на сколько единиц одно число отличается от другого. Частное показывает, сколько раз одно число содержится в другом, или какую часть оно составляет, поэтому для отношений используют деление.
В записи a : b число a — делимое, а число b — делитель. Если поменять их местами, изменится вопрос: вместо того чтобы сравнивать a с b, мы будем сравнивать b с a. Например, 12 : 4 = 3, а 4 : 12 = 1/3, поэтому порядок членов отношения нельзя переставлять без изменения смысла.
Отношение можно записывать разными, но равными по значению числами. Если умножить или разделить оба его члена на одно и то же ненулевое число, частное останется прежним: дробь просто сократится или расширится. Например, 6 : 9 и 2 : 3 имеют одинаковое значение, потому что 6/9 = 2/3.
При сравнении величин сначала приводят их к одинаковым единицам, потому что деление должно сравнивать одинаковые мерки. Если разделить числовое значение в метрах на значение в сантиметрах без перевода, ответ не будет показывать правильное отношение величин. После перевода единиц можно делить числовые значения обычным способом.
Полученное частное нужно истолковать с учётом того, какие числа сравнивали. Значение 3 означает, что первая величина в три раза больше второй. Значение 1/3 означает, что первая величина составляет треть второй, а не что она меньше на три единицы.
Сначала найдите в таблице, что именно сравнивается, затем проверьте порядок записи и условие деления. Столбец «Как найти значение» подсказывает действие, а последний столбец напоминает о проверке перед вычислением. Для отношений величин сначала приведите единицы к одинаковым.
| Что сравниваем | Запись | Как найти значение | Важное условие |
|---|---|---|---|
| Два числа | a : b | Разделить a на b | b ≠ 0 |
| Две величины одинакового рода | A : B | Выразить в одинаковых единицах и разделить числовые значения | Единицы должны совпадать; числовое значение B не равно нулю |
| Обратное отношение | b : a | Разделить b на a | a ≠ 0; порядок сравнения обратный |
| Равные отношения | a : b = c : d | Вычислить оба частных или преобразовать обе дроби | Вторые члены не равны нулю |
Задача 1. Найдите отношение 18 к 6 и объясните его значение. Здесь первое число 18 сравнивается со вторым числом 6, поэтому делить нужно именно 18 на 6. Полученное частное покажет, во сколько раз 18 больше 6.
Ответ: 18 : 6 = 3; первое число в три раза больше второго.
Задача 2. Найдите отношение 2 м к 50 см. В условии единицы разные, поэтому сначала переведём метры в сантиметры. Так мы сравним величины, выраженные одной меркой, и только после этого выполним деление.
Ответ: отношение равно 4.
Задача 3. В коробке 12 красных и 8 синих карандашей. Найдите отношение числа красных карандашей к числу всех карандашей и отношение числа синих к числу красных. Сначала выясним общее количество: для первого отношения сравниваются красные карандаши со всеми, а для второго — синие с красными. Так мы не перепутаем порядок и знаменатель.
Ответ: отношение красных карандашей ко всем равно 3/5, а синих к красным — 2/3.
Переставляют числа местами. Тогда вместо отношения a : b получают b : a, которое обычно имеет другое значение. Ошибка возникает, если не следить за словами «к чему» или «во сколько раз». Перед вычислением подпишите, какое число стоит первым, и проверьте, соответствует ли запись порядку в вопросе.
Делят величины в разных единицах. Например, в отношении метров к сантиметрам нельзя сразу делить только числовые значения. Так происходит, когда забывают, что числа относятся к разным меркам. Запишите единицы рядом с величинами и переведите их к одной мерке до деления.
Путают отношение с разностью. Разность находят вычитанием, а отношение — делением, поэтому ответы выражают разные способы сравнения. Путаница возникает из-за того, что оба действия используют для сравнения чисел. Проверьте вопрос: «на сколько?» требует разности, а «во сколько раз?» — отношения.
Ставят ноль на второе место. В таком случае пришлось бы делить на ноль, а это действие не определено. Ошибка может появиться при механическом составлении записи без проверки делителя. Перед вычислением посмотрите на второе число; если оно равно нулю, такое отношение не имеет значения.
Для вычисления отношений нужно уметь делить натуральные числа и обыкновенные дроби. При сравнении величин также пригодится перевод единиц измерения, например метров в сантиметры или часов в минуты. Эти умения позволяют правильно составить частное и понять полученный результат.
Отношения понадобятся при изучении пропорций, масштаба и процентов, а также в задачах на сравнение величин. Например, масштаб карты задаёт отношение расстояния на карте к расстоянию на местности. Проценты тоже связаны с отношением части к целому.
Чем отношение отличается от разности?
Разность находят вычитанием: она показывает, на сколько одно число больше или меньше другого. Отношение находят делением: оно показывает, во сколько раз числа отличаются или какую часть одно составляет от другого.
Почему порядок чисел в отношении важен?
В записи a : b первое число делят на второе, а в записи b : a — наоборот. Поэтому результаты обычно различаются: например, 12 : 4 = 3, а 4 : 12 = 1/3.
Можно ли записать отношение, если второе число равно нулю?
Нет, потому что значение отношения находят делением первого числа на второе. Деление на ноль не определено, поэтому второй член отношения не может быть равен нулю.
Почему величины нужно переводить в одинаковые единицы?
При делении числовые значения должны относиться к одной и той же мерке. Если единицы разные, сначала нужно перевести одну величину в единицы другой, например метры в сантиметры.
Изменится ли значение отношения, если оба его члена умножить на одно и то же число?
Если умножить оба члена на одно и то же ненулевое число, значение отношения не изменится. Например, 2 : 3 и 4 : 6 имеют одинаковое значение, потому что соответствующие дроби равны.
1.1. Отношения чисел и величин
