§ 4. Целая и дробная части числа

Определения и обозначения

Целая часть числа — наибольшее целое число, не превосходящее данное число. Например, для 6,2 это число 6, а для −3,7 — число −4. Такое определение помогает однозначно выбрать целое число, даже если данное число отрицательное.

Дробная часть числа — разность между числом и его целой частью. У числа 6,2 дробная часть равна 6,2 − 6 = 0,2, а у числа −3,7 — −3,7 − (−4) = 0,3. Она показывает, сколько нужно прибавить к целой части, чтобы получить исходное число.

Целую часть числа x обозначают [x], а дробную — {x}. Например, [6,2] = 6 и {6,2} = 0,2. Обозначения удобны, когда нужно кратко записать правило для разных чисел: x = [x] + {x}.

Как это устроено

В десятичной записи целую и дробную части разделяет запятая: слева записаны целые единицы, а справа — доли единицы. Например, в числе 18,407 цифры 18 показывают целую часть, а 407 после запятой записывают дробную часть 0,407. Запятая помогает видеть разряды, но само правило о целой части определяется не записью, а её значением.

Дробная часть любого числа неотрицательна и меньше единицы: 0 ≤ {x} < 1. Она не может быть отрицательной, потому что целая часть не превосходит число, значит, разность между ними неотрицательна. А если бы разность была не меньше единицы, можно было бы взять следующее целое число, которое тоже не превосходило бы данное, и прежняя целая часть не была бы наибольшей.

Число складывается из целой и дробной частей: x = [x] + {x}. Это следует из определения дробной части: {x} = x − [x], а при прибавлении [x] к обеим частям получаем нужное равенство. Поэтому результат разложения можно проверить сложением: сумма частей должна совпасть с исходным числом.

У отрицательных чисел целую часть выбирают округлением вниз, то есть в сторону меньших чисел. Например, −3 больше, чем −3,7, поэтому не подходит под определение; наибольшее целое число, не превосходящее −3,7, — это −4. Тогда −3,7 = −4 + 0,3, и дробная часть остаётся неотрицательной.

Обыкновенную дробь, большую единицы, удобно разложить с помощью деления с остатком. Например, при делении 29 на 6 получаем частное 4 и остаток 5, поэтому 29/6 = 4 + 5/6. Частное становится целой частью, а остаток делят на прежний знаменатель и получают дробную часть; остаток меньше делителя, значит, эта часть меньше единицы.

Целая и дробная части различных чисел

Сначала посмотри, положительное число или отрицательное, а затем найди наибольшее целое число, которое его не превосходит. В последнем столбце проверь, что сумма частей даёт исходное число. Также дробная часть в каждой строке должна быть неотрицательной и меньше единицы.

Разбор задач

Задача 1. Найдите целую и дробную части числа 18,407.

Нужно выделить целую часть по определению, а дробную найти как разность. Так как число положительное, наибольшее целое, которое его не превосходит, равно 18. После этого проверим разложение сложением, чтобы убедиться, что части выбраны верно.

1. Находим целую часть: [18,407] = 18.
2. Вычитаем её из числа: {18,407} = 18,407 − 18 = 0,407.
3. Проверяем: 18 + 0,407 = 18,407.

Ответ: целая часть равна 18, дробная — 0,407.

Задача 2. Найдите целую и дробную части числа −5,8.

Для отрицательного числа недостаточно посмотреть на цифры перед запятой. Целая часть должна быть не больше исходного числа, поэтому −5 не подходит: оно больше, чем −5,8. Выбираем следующее целое число в сторону меньших значений и затем находим разность.

1. Наибольшее целое число, не превосходящее −5,8, — это −6, значит, [−5,8] = −6.
2. Находим дробную часть: {−5,8} = −5,8 − (−6) = 0,2.
3. Проверяем разложение: −6 + 0,2 = −5,8.

Ответ: целая часть равна −6, дробная — 0,2.

Задача 3. Представьте дробь 29/6 в виде суммы целой и дробной частей и найдите обе части.

Дробь неправильная: числитель больше знаменателя, поэтому её можно представить как сумму целого числа и правильной дроби. Для этого делим числитель на знаменатель с остатком. Частное станет целой частью, а дробь из остатка и прежнего знаменателя — дробной.

1. Делим 29 на 6: получаем частное 4 и остаток 5, так как 29 = 6 · 4 + 5.
2. Записываем сумму: 29/6 = 4 + 5/6.
3. Проверяем, что 5/6 меньше единицы, а сумма 4 + 5/6 равна исходной дроби.

Ответ: целая часть равна 4, дробная — 5/6; 29/6 = 4 + 5/6.

Типичные ошибки

Ошибка: считать целой частью числа −3,7 число −3, потому что оно записано до запятой. Так происходит, если правило для положительных чисел переносят на отрицательные, не учитывая порядок чисел на числовой прямой. Проверь себя: −3 больше, чем −3,7, поэтому он не может быть целой частью; подходит −4.

Ошибка: записывать дробную часть отрицательного числа как −0,7. Дробную часть определяют вычитанием целой части, а целая часть −3,7 равна −4, поэтому разность равна 0,3. Проверка простая: дробная часть должна быть неотрицательной и меньше единицы.

Ошибка: путать дробную часть с цифрами после запятой или с остатком при делении. Цифры после запятой показывают дробную часть только с учётом разрядов, а остаток в делении ещё нужно разделить на делитель. Например, остаток 5 при делении на 6 даёт дробную часть 5/6, а не 5.

Ошибка: не указывать дробную часть целого числа или считать её единицей. Целое число уже является своей целой частью, поэтому разность между ним и целой частью равна нулю. Проверь разложение: например, 7 = 7 + 0, а не 7 + 1.

Связь с другими темами

Чтобы находить части числа, нужно уметь сравнивать числа, записывать десятичные и обыкновенные дроби, а также выполнять деление с остатком. Разложение неправильной дроби на целую и дробную части помогает переходить к смешанному числу и обратно. Эти части используют при оценке и сравнении чисел, округлении и работе с координатами: они позволяют отдельно рассматривать целые единицы и долю единицы.

Что запомнить

• Целая часть числа — наибольшее целое число, не превосходящее это число.
• Дробная часть числа равна разности числа и его целой части.
• Для любого числа x выполняется x = [x] + {x}.
• Дробная часть всегда удовлетворяет неравенству 0 ≤ {x} < 1.
• У целого числа дробная часть равна нулю.
• У отрицательных чисел целая часть определяется округлением вниз, а не простым отбрасыванием цифр после запятой.