§ 3. Арифметические действия с дробями

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, которая показывает отношение числителя к знаменателю и часть целого. Например, 3/5 означает три доли из пяти равных долей. Смысл дроби помогает понять, сколько частей взято и какого размера каждая часть.

Числитель — число над чертой дроби, например 3 в дроби 3/5. Он показывает, сколько одинаковых долей взяли. По числителю мы понимаем количество частей и выполняем действия с количеством долей.

Знаменатель — число под чертой дроби, например 5 в дроби 3/5. Он показывает, на сколько равных долей разделили целое, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Если знаменатели одинаковые, доли имеют одинаковый размер и их удобно сравнивать и складывать.

Взаимно обратные числа — числа, произведение которых равно единице. Для дроби a/b взаимной обратной является дробь b/a, если a и b не равны нулю. Это понятие нужно при делении: деление на дробь заменяют умножением на обратную ей дробь.

Как это устроено

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель сохраняют, а действия выполняют только с числителями. Доли уже имеют один и тот же размер, поэтому достаточно посчитать их количество. Например, 2/7 + 3/7 = 5/7, ведь это две доли и ещё три такие же доли.

Если знаменатели разные, доли имеют разный размер, поэтому сразу складывать их нельзя. Сначала находят общий знаменатель и заменяют каждую дробь равной ей дробью. После этого все доли становятся одинаковыми, и можно действовать с числителями; при вычитании также следят, чтобы уменьшаемая дробь была не меньше вычитаемой.

При умножении дробей находят произведение числителей и произведение знаменателей. Это связано с тем, что мы берём указанную часть от другой части: например, 1/2 · 3/5 означает половину от трёх пятых. Перед умножением полезно сократить общий множитель в числителе одной дроби и знаменателе другой, чтобы получить более простые числа.

Деление на дробь заменяют умножением на взаимно обратную дробь. Обратное число отменяет действие делителя: произведение дроби и обратной ей дроби равно единице. В выражении a/b : c/d переворачивают только дробь-делитель, поэтому получают a/b · d/c, а не изменение обеих дробей.

После вычислений результат нужно проверить. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь сокращают, деля оба числа на него. Если числитель больше знаменателя, можно выделить целую часть, разделив числитель с остатком на знаменатель.

Арифметические действия с дробями

Таблица помогает быстро выбрать нужное правило. Сначала определите действие и сравните знаменатели, затем выполните вычисления и проверьте полученную дробь.

Разбор задач

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Вычислите: 3/8 + 2/8. Обе дроби описывают восьмые доли, поэтому общий знаменатель уже найден. Нужно сложить только количество долей и проверить результат.

1. Складываем числители: 3 + 2 = 5.
2. Знаменатель 8 оставляем без изменения: получаем 5/8.
3. Числа 5 и 8 не имеют общего делителя, кроме 1, поэтому дробь не сокращается.

Ответ: 5/8.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Вычислите: 5/6 − 3/10. Знаменатели 6 и 10 разные, поэтому сначала нужно подобрать общий знаменатель. Наименьшее общее кратное чисел 6 и 10 равно 30.

1. Дробь 5/6 умножаем на 5/5 и получаем 25/30.
2. Дробь 3/10 умножаем на 3/3 и получаем 9/30.
3. Вычитаем числители: 25/30 − 9/30 = 16/30.
4. Сокращаем 16/30 на 2 и получаем 8/15.

Ответ: 8/15. Приведение к общему знаменателю не изменило значения дробей, а только записало их доли в удобном виде.

Деление и сложение дробей

Вычислите: 2/3 : 4/9 + 1/6. Сначала выполняем деление, потому что оно имеет приоритет перед сложением. Затем результат сложения записываем с общим знаменателем.

1. Заменяем деление умножением на обратную дробь: 2/3 : 4/9 = 2/3 · 9/4.
2. Сокращаем 9 и 3, а 2 и 4: получаем 3/2.
3. Прибавляем 1/6: 3/2 + 1/6 = 9/6 + 1/6 = 10/6.
4. Сокращаем 10/6 на 2 и получаем 5/3.

Ответ: 5/3, или 1 2/3. Неправильную дробь можно оставить в ответе или представить смешанным числом.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать знаменатели, например получать 5/16 из 3/8 + 2/8. Так делают, перенося правило для числителей на размер долей, хотя знаменатель показывает размер, а не количество частей. Проверка: при одинаковых знаменателях знаменатель в ответе должен сохраниться.

Ошибка: складывать дроби с разными знаменателями без приведения. Доли 1/2 и 1/3 неодинаковы по размеру, поэтому их числители нельзя объединять напрямую. Проверка: перед сложением или вычитанием убедитесь, что знаменатели стали одинаковыми.

Ошибка: при делении переворачивать первую или обе дроби. Обратной делают только дробь-делитель, то есть стоящую после знака деления. Проверка: замените знак деления на умножение и переверните только вторую дробь.

Ошибка: сокращать дробь, деля числитель и знаменатель на разные числа, или забывать о сокращении. Такое действие меняет значение дроби либо оставляет ответ неоправданно сложным. Проверка: оба числа делите на один и тот же общий делитель.

Связь с другими темами

До изучения действий с дробями нужно понимать смысл дроби, знать названия числителя и знаменателя, уметь находить равные дроби и применять признаки делимости. Также полезно владеть нахождением общего знаменателя, потому что оно требуется при сложении и вычитании дробей.

Правила дробей встречаются в текстовых задачах о величинах, отношениях и пропорциях. Они помогают выполнять вычисления с частями пути, времени, массы и стоимости, а также переходить к действиям с десятичными дробями.

Что запомнить

• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• При сложении и вычитании дробей сначала добиваются одинаковых знаменателей.
• При одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители, а знаменатель сохраняют.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
• После вычислений результат следует сократить, если это возможно.